1. Determine os valores de k para os quais o sistema homogêneo possui soluções não triviais (ou seja, \operatorname{det}(A)=0 ):
\left\{\begin{array}{l} (k-1) x+2 y=0 \\\\ 3 x+k y=0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo com parâmetro k\): \[\begin{cases} (k-1)x+2y=0,\\[4pt] 3x+ky=0. \end{cases}
O que é pedido: determinar os valores de k\] para os quais o sistema possui soluções não triviais (isto é, além da solução \(x=0,\;y=0).
Informações relevantes fornecidas:
  • As equações acima são as duas equações lineares do sistema.
  • O sistema é homogêneo (termo independente igual a 0).
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}k-1 & 2\\[4pt] 3 & k\end{pmatrix}.]

Passo 2

Princípio chave (explicação didática): um sistema homogêneo A\mathbf{v}=\mathbf{0} tem solução não trivial se, e somente se, as linhas (ou colunas) da matriz A forem linearmente dependentes. Para matrizes quadradas isso é equivalente a dizer que o determinante de A é zero. Portanto, para encontrar os k buscados basta calcular o determinante de A e impor \det(A)=0.
Fórmula do determinante para uma matriz 2\times2: se
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os coeficientes das entradas da matriz; o determinante combina o produto dos elementos da diagonal principal e subtrai o produto da diagonal secundária. É uma forma direta e rápida de testar se duas linhas/colunas são independentes: se \det(M)\neq0 então existe inversa e só há solução trivial; se \det(M)=0 então há dependência e existe solução não trivial.]

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante à matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}k-1 & 2\\[4pt] 3 & k\end{pmatrix},
temos
\det(A)=(k-1)\cdot k - 2\cdot 3.
Calculemos passo a passo:
(k-1)\cdot k = k(k-1)=k^2-k,
e
2\cdot 3=6.
Logo
\det(A)=k^2-k-6.
Para existir solução não trivial queremos \det(A)=0, ou seja
k^2-k-6=0.]

Passo 4

Resolver a equação quadrática k^2-k-6=0. Podemos fatorar procurando dois números cujo produto seja -6 e soma seja -1. Esses números são -3 e 2, pois (-3)\cdot 2=-6 e (-3)+2=-1. Portanto
k^2-k-6=(k-3)(k+2).
Impondo igual a zero:
(k-3)(k+2)=0 \quad\Rightarrow\quad k=3 \\ \text{ou}\\ k=-2.

Passo 5

Verificação e interpretação (útil para a prova): para k=3 as equações ficam
2x+2y=0\quad\text{e}\quad 3x+3y=0,
que são múltiplas entre si (as duas representam a mesma reta), logo há infinitas soluções não triviais. Um parâmetro comum é escolher y=t; da primeira equação 2x+2t=0\Rightarrow x=-t. Assim as soluções são (x,y)=(-t,t) com t\in\mathbb{R}.
Para k=-2 as equações ficam
-3x+2y=0\quad\text{e}\quad 3x-2y=0,
novamente dependentes (a segunda é -1 vezes a primeira), então também há infinitas soluções. Tomando x=t, da segunda 3t-2y=0\Rightarrow y=\tfrac{3}{2}t. Assim (x,y)=\left(t,\tfrac{3}{2}t\right), t\in\mathbb{R}.
Resumo: exatamente para k=3 e k=-2 o determinante anula-se e o sistema tem soluções não triviais.

Resposta

k=3
k=-2

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