Seja \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) uma amostra de uma população: X \sim f(x ; \theta)=\theta e^{-\theta x}, x> 0, \theta>0.
Encontre a densidade de M=\max \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right).

Passo 1

O enunciado define uma amostra iid \bigl(X_{1},\dots,X_{n}\bigr) de variáveis exponenciais com parâmetro \theta>0, ou seja, cada X_{i} tem densidade
f(x;\theta)=\theta\,e^{-\theta x},\quad x>0.
O que queremos é a densidade de M=\max\{X_{1},\dots,X_{n}\}. Para isso vamos usar a técnica de ordem estatística, calculando primeiro a função de distribuição de M e depois derivando-a.

Passo 2

Primeiro obtemos a função de distribuição de cada X_{i}. Como \,X_{i}\sim\mathrm{Exp}(\theta), vale
F_{X}(x)=P(X_{i}\le x)=1 - e^{-\theta x},\quad x>0.

Passo 3

Como M=\max\{X_{1},\dots,X_{n}\}, sua função de distribuição é
F_{M}(m)=P(M\le m) =\prod_{i=1}^{n}P(X_{i}\le m) =\bigl[F_{X}(m)\bigr]^{n} =\bigl(1 - e^{-\theta m}\bigr)^{n},\quad m>0.

Passo 4

A densidade de M é a derivada de F_{M}(m). Derivando em relação a m:
f_{M}(m) =\frac{d}{dm}F_{M}(m) =n\bigl(1 - e^{-\theta m}\bigr)^{n-1}\cdot\bigl(e^{-\theta m}\,\theta\bigr), \quad m>0.

Resposta

f_{M}(m) = n\,\theta\,e^{-\theta m}\,\bigl(1 - e^{-\theta m}\bigr)^{\,n-1}, \quad m>0.

Exercícios relacionados