Seja \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) de uma população contínua com f.d.p X \sim f(x), e função de distribuição F(x) e considere as estatísticas M=\max \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) e T=\min \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right). Mostre então que:
A densidade de M é dada por g(x)=n[F(x)]^{n-1} f(x);

Passo 1

O enunciado diz que \{X_{1},\dots,X_{n}\} é uma amostra independente de uma população contínua com função densidade f(x) e função de distribuição F(x). Definimos
M = \max(X_{1},\dots,X_{n})
e queremos encontrar a densidade de M. Para isso, vamos primeiro achar a função de distribuição de M e depois diferenciá-la.

Passo 2

A função de distribuição de M é
P(M \le x) = P(X_{1}\le x,\dots,X_{n}\le x).
Como as observações são independentes, isso se fatoriza em
P(M \le x) = \prod_{i=1}^{n}P(X_{i}\le x) = [F(x)]^{n}.
Chamamos essa função de H(x), isto é,
H(x) = P(M \le x) = [F(x)]^{n}.

Passo 3

Para obter a densidade g(x) de M, basta derivar H(x). Como H(x)=[F(x)]^{n} e F é diferenciável (população contínua), aplicamos a regra da cadeia:
g(x) = H'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[F(x)\bigr]^{n} = n\,[F(x)]^{n-1}\,\frac{d}{dx}F(x) = n\,[F(x)]^{n-1}\,f(x).

Resposta

g(x)=n\,[F(x)]^{n-1}\,f(x).

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