Encontrar a distribuição da amostra aleatória ( X_{1}, \ldots, X_{n} ) de uma população X \sim f(x ; \theta)), quando:
X tem distribuição exponencial: f(x ; \theta)=\theta e^{-\theta x}, x>0, \theta>0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma população com distribuição exponencial de parâmetro \theta>0, cuja densidade é
f(x;\theta)=\theta e^{-\theta x},\quad x>0.
Queremos encontrar a distribuição conjunta dessa amostra, ou seja, o pdf de (X_{1},\dots,X_{n}).

Passo 2

Como os X_{i} são independentes e identicamente distribuídos, a densidade conjunta é o produto das densidades marginais:
f(x_{1},\dots,x_{n};\theta) =\prod_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta) =\prod_{i=1}^{n}\Bigl(\theta e^{-\theta x_{i}}\Bigr).

Passo 3

Fazendo o produto, temos
f(x_{1},\dots,x_{n};\theta) =\theta^{n}\exp\Bigl(-\theta\sum_{i=1}^{n}x_{i}\Bigr),
com suporte x_{i}>0 para todo i=1,\dots,n.

Resposta

A densidade conjunta da amostra é
f(x_{1},\dots,x_{n};\theta) =\theta^{n}\exp\Bigl(-\theta\sum_{i=1}^{n}x_{i}\Bigr),\quad x_{i}>0.

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