Encontrar a distribuição da amostra aleatória ( X_{1}, \ldots, X_{n} ) de uma população X \sim f(x ; \theta)), quando:
X tem distribuição de Poisson: f(x ; \theta)=e^{-\lambda} \lambda^{x} / x!, x=0,1,2, \ldots, \lambda>0.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição conjunta de uma amostra aleatória (X_{1},\dots,X_{n}) extraída de uma população cuja variável X segue distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0. O conteúdo é a construção da função massa de probabilidade conjunta de variáveis independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.).

Passo 2

Como os X_{i} são i.i.d. com
f(x_i;\lambda)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!},\quad x_i=0,1,2,\dots,
a função massa de probabilidade conjunta é o produto das marginais:
f(x_{1},\dots,x_{n};\lambda) =\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\lambda) =\prod_{i=1}^{n}\Bigl(e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}\Bigr).

Passo 3

Agrupando termos iguais no produto, obtemos
f(x_{1},\dots,x_{n};\lambda) =e^{-n\lambda}\, \frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n}x_i}}{\prod_{i=1}^{n}x_i!}.

Resposta

\boxed{ f(x_{1},\dots,x_{n};\lambda) =e^{-n\lambda}\, \frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n}x_i}}{\prod_{i=1}^{n}x_i!},\quad x_i\in\{0,1,2,\dots\}. }

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