Seja
uma sequência qualquer. Mostre que:
Se (
) é limitada, então toda subsequência
é limitada.
Se (
Passo 1
O enunciado pede que mostremos a implicação seguinte: “Se
é limitada, então toda subsequência
é limitada.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há uma sequência qualquer
. - Precisamos provar uma afirmação sobre qualquer subsequência
dessa sequência.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (com calma) o que significam os termos envolvidos.
Definição de sequência limitada: dizemos que a sequência
é limitada se existe um número real
tal que
Isso significa que todos os termos da sequência ficam dentro do intervalo
.
Definição de subsequência: uma subsequência
é obtida escolhendo um índice
para cada
de modo que
. Cada termo
é um termo da sequência original.
Passo 3
Agora vamos usar uma prova direta (a mais simples aqui): partimos da hipótese que
é limitada e mostramos que qualquer subsequência também o é.
Pela hipótese de limitação, existe
tal que
Esta desigualdade vale para qualquer índice natural
.
Passo 4
Como cada termo da subsequência tem a forma
com
, aplicamos a desigualdade da hipótese aos índices
. Assim, para todo
vale
Portanto todos os termos da subsequência estão também dentro de
.
Passo 5
Concluímos que a subsequência
é limitada pelo mesmo
que limita a sequência original. Essa prova funciona para qualquer subsequência escolhida, logo toda subsequência é limitada.
Resposta
Se existe
tal que
para todo
, então para qualquer subsequência
tem-se
para todo
; logo toda subsequência é limitada.