Seja \left(x_{n}\right) uma sequência qualquer. Mostre que:
Se ( x_{n} ) é limitada, então toda subsequência \left(x_{n_{k}}\right)_{k \in \mathbb{N}} é limitada.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a implicação seguinte: “Se \left(x_{n}\right) é limitada, então toda subsequência \left(x_{n_{k}}\right)_{k\in\mathbb{N}} é limitada.”
Informações dadas:
  • Há uma sequência qualquer \left(x_{n}\right).
  • Precisamos provar uma afirmação sobre qualquer subsequência \left(x_{n_{k}}\right)_{k\in\mathbb{N}} dessa sequência.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (com calma) o que significam os termos envolvidos.
Definição de sequência limitada: dizemos que a sequência \left(x_{n}\right) é limitada se existe um número real M>0 tal que
|x_{n}|\le M\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Isso significa que todos os termos da sequência ficam dentro do intervalo [-M,M].
Definição de subsequência: uma subsequência \left(x_{n_{k}}\right)_{k\in\mathbb{N}} é obtida escolhendo um índice n_{k} para cada k de modo que n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots. Cada termo x_{n_{k}} é um termo da sequência original.

Passo 3

Agora vamos usar uma prova direta (a mais simples aqui): partimos da hipótese que \left(x_{n}\right) é limitada e mostramos que qualquer subsequência também o é.
Pela hipótese de limitação, existe M>0 tal que
|x_{n}|\le M\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Esta desigualdade vale para qualquer índice natural n.

Passo 4

Como cada termo da subsequência tem a forma x_{n_{k}} com n_{k}\in\mathbb{N}, aplicamos a desigualdade da hipótese aos índices n_{k}. Assim, para todo k\in\mathbb{N} vale
|x_{n_{k}}|\le M.
Portanto todos os termos da subsequência estão também dentro de [-M,M].

Passo 5

Concluímos que a subsequência \left(x_{n_{k}}\right)_{k\in\mathbb{N}} é limitada pelo mesmo M que limita a sequência original. Essa prova funciona para qualquer subsequência escolhida, logo toda subsequência é limitada.

Resposta

Se existe M>0 tal que |x_{n}|\le M para todo n\in\mathbb{N}, então para qualquer subsequência \left(x_{n_{k}}\right)_{k\in\mathbb{N}} tem-se |x_{n_{k}}|\le M para todo k\in\mathbb{N}; logo toda subsequência é limitada.

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