Seja A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) um ponto pertencente a um plano \pi e \vec{n}=(a, b, c), \vec{n} \neq \overrightarrow{0}, um vetor normal ao plano, isto é, \vec{n} é ortogonal a todo vetor paralelo a \pi. Então um ponto P=(x, y, z) pertence a \pi se, e somente se, \vec{n} \perp \overrightarrow{A P}.
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\vec{n} \cdot \overrightarrow{A P}=0 \Leftrightarrow \vec{n} \cdot(P-A)=0 \Leftrightarrow a x+b y+c z+d=0,
onde d=-a x_{1}-b y_{1}-c z_{1}. A equação a x+b y+c z+d=0 é a equação geral do plano \pi.
Podemos dizer que o vetor normal ao plano fixa sua direção e que o ponto A fixa sua posição. Ou seja, planos paralelos têm a mesma direção.
Dê um outro vetor normal a \pi e um outro ponto pertencente a ele.

Passo 1

O enunciado dá um ponto A=(x_{1},y_{1},z_{1}) pertencente ao plano \pi e um vetor normal \vec{n}=(a,b,c), \vec{n}\neq\overrightarrow{0}. A pergunta é simples: apresentar outro vetor normal a \pi e outro ponto que pertença a \pi. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dado: o vetor normal \vec{n}=(a,b,c) satisfaz \vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0 para todo ponto P do plano.
  • Pedido: (i) um outro vetor normal a \pi; (ii) um outro ponto pertencente a \pi.

Passo 2

Primeira ideia simples para vetor normal: qualquer múltiplo escalar não-nulo de \vec{n} também é normal. Explicando por que (aulas rápidas de teoria):
  • Se \vec{n} é ortogonal a todo vetor paralelo ao plano, então para qualquer escalar k\in\mathbb{R}, k\vec{n} também é ortogonal aos mesmos vetores, porque a multiplicação escalar apenas muda o comprimento (e possivelmente a direção por sinal), não a ortogonalidade.
  • Em álgebra: se \vec{n}\cdot\vec{v}=0 para todo \vec{v} paralelo ao plano, então (k\vec{n})\cdot\vec{v}=k(\vec{n}\cdot\vec{v})=k\cdot0=0.
Portanto uma resposta imediata para (i) é:
\vec{n}'=k\vec{n}=(ka,kb,kc) com k\neq0.

Passo 3

Agora vamos construir um vetor não-nulo \vec{v} paralelo ao plano (ou seja, \vec{v} ortogonal a \vec{n}). Depois B=A+\vec{v} será outro ponto do plano. Precisamos achar \vec{v}\neq\overrightarrow{0} tal que \vec{n}\cdot\vec{v}=0.
Uma construção prática e simples que costuma funcionar é escolher
\vec{v}=(-b,a,0).
Verificação da ortogonalidade:
\vec{n}\cdot\vec{v}= (a,b,c)\cdot(-b,a,0) = a(-b)+b(a)+c\cdot0 = -ab+ab+0 = 0.
Assim \vec{v} está no plano (é paralelo ao plano). Isso dá imediatamente um outro ponto do plano:
B = A+\vec{v} = (x_{1}-b,\; y_{1}+a,\; z_{1}).
Explicando didaticamente: somar \vec{v} a A desloca A ao longo de uma direção que fica dentro do plano, logo o novo ponto B permanece no plano porque o vetor \overrightarrow{AB}=\vec{v} é ortogonal ao normal \vec{n}.

Passo 4

Cuidado com o caso especial: se a=b=0 então a construção \vec{v}=(-b,a,0) dá o vetor nulo. Mas nesse caso \vec{n}=(0,0,c) com c\neq0 (porque \vec{n}\neq\overrightarrow{0}). O plano é então do tipo cz+d=0, ou seja, é um plano paralelo ao eixo xy (altura z fixa). Para esse caso basta escolher qualquer vetor com terceira componente 0 e não-nulo, por exemplo \vec{v}=(1,0,0). Então
B = A+\vec{v} = (x_{1}+1,\; y_{1},\; z_{1})
também pertence ao plano, porque \vec{n}\cdot\vec{v}= (0,0,c)\cdot(1,0,0)=0.

Passo 5

Resumo prático para usar na prova (passo-a-passo rápido):
  • Para outro vetor normal: escolha qualquer k\neq0 e use \vec{n}'=k\vec{n}=(ka,kb,kc).
  • Para outro ponto: se (a,b)\neq(0,0) então use B=(x_{1}-b,\;y_{1}+a,\;z_{1}) (pois \overrightarrow{AB}=(-b,a,0) satisfaz \vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0). Se a=b=0 então escolha, por exemplo, B=(x_{1}+1,\;y_{1},\;z_{1}).

Resposta

\vec{n}'=k\vec{n}=(ka,kb,kc),\\ k\neq0.
Se (a,b)\neq(0,0): B=(x_{1}-b,\;y_{1}+a,\;z_{1}).
Se a=b=0 (então c\neq0): B=(x_{1}+1,\;y_{1},\;z_{1}).

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