Seja A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) um ponto pertencente a um plano \pi e \vec{n}=(a, b, c), \vec{n} \neq \overrightarrow{0}, um vetor normal ao plano, isto é, \vec{n} é ortogonal a todo vetor paralelo a \pi. Então um ponto P=(x, y, z) pertence a \pi se, e somente se, \vec{n} \perp \overrightarrow{A P}.
Logo
onde d=-a x_{1}-b y_{1}-c z_{1}. A equação a x+b y+c z+d=0 é a equação geral do plano \pi.
Podemos dizer que o vetor normal ao plano fixa sua direção e que o ponto A fixa sua posição. Ou seja, planos paralelos têm a mesma direção.
a) Obter uma equação geral do plano \pi que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem \vec{n}=(3,2,-4) como um vetor normal.
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações:
O ponto A=(2,-1,3) pertence ao plano \pi.
O vetor normal ao plano é \vec{n}=(3,2,-4), com \vec{n}\neq\overrightarrow{0}.
O que se pede:
Obter uma equação geral do plano \pi que passa por A e tem \vec{n} como vetor normal.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática e simples):
Um ponto P=(x,y,z) pertence ao plano \pi se, e somente se, o vetor \overrightarrow{AP} for ortogonal ao vetor normal \vec{n}.
Ortogonalidade entre dois vetores significa que o produto escalar (dot product) é zero.
Portanto a condição é
\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0.
Aqui:
\vec{n}=(a,b,c) é o vetor normal (cada componente é um número).
\overrightarrow{AP}=P-A=(x-x_{1},\,y-y_{1},\,z-z_{1}) é o vetor que vai de A para P.
O produto escalar de (a,b,c) por (u,v,w) é a u + b v + c w.
Passo 3
Escrever a condição em forma algébrica (procedimento passo a passo):
Substituindo \overrightarrow{AP}=(x-x_{1},y-y_{1},z-z_{1}) na condição,