Seja A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) um ponto pertencente a um plano \pi e \vec{n}=(a, b, c), \vec{n} \neq \overrightarrow{0}, um vetor normal ao plano, isto é, \vec{n} é ortogonal a todo vetor paralelo a \pi. Então um ponto P=(x, y, z) pertence a \pi se, e somente se, \vec{n} \perp \overrightarrow{A P}.
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\vec{n} \cdot \overrightarrow{A P}=0 \Leftrightarrow \vec{n} \cdot(P-A)=0 \Leftrightarrow a x+b y+c z+d=0,
onde d=-a x_{1}-b y_{1}-c z_{1}. A equação a x+b y+c z+d=0 é a equação geral do plano \pi.
Podemos dizer que o vetor normal ao plano fixa sua direção e que o ponto A fixa sua posição. Ou seja, planos paralelos têm a mesma direção.
a) Obter uma equação geral do plano \pi que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem \vec{n}=(3,2,-4) como um vetor normal.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • O ponto A=(2,-1,3) pertence ao plano \pi.
  • O vetor normal ao plano é \vec{n}=(3,2,-4), com \vec{n}\neq\overrightarrow{0}.
    O que se pede:
  • Obter uma equação geral do plano \pi que passa por A e tem \vec{n} como vetor normal.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática e simples):
  • Um ponto P=(x,y,z) pertence ao plano \pi se, e somente se, o vetor \overrightarrow{AP} for ortogonal ao vetor normal \vec{n}.
  • Ortogonalidade entre dois vetores significa que o produto escalar (dot product) é zero.
  • Portanto a condição é
\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=0.
Aqui:
  • \vec{n}=(a,b,c) é o vetor normal (cada componente é um número).
  • \overrightarrow{AP}=P-A=(x-x_{1},\,y-y_{1},\,z-z_{1}) é o vetor que vai de A para P.
  • O produto escalar de (a,b,c) por (u,v,w) é a u + b v + c w.

Passo 3

Escrever a condição em forma algébrica (procedimento passo a passo):
  • Substituindo \overrightarrow{AP}=(x-x_{1},y-y_{1},z-z_{1}) na condição,
\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0.
  • Expandindo:
a x + b y + c z - (a x_{1} + b y_{1} + c z_{1}) = 0.
  • Definindo d=-(a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}), obtemos a forma padrão da equação do plano:
a x + b y + c z + d = 0.
Explicando as letras:
  • a,b,c são as componentes do vetor normal \vec{n}.
  • d é um número que fixa a posição do plano (depende do ponto A).

Passo 4

Aplicar aos dados do enunciado (calcular passo a passo d):
  • Aqui \vec{n}=(3,2,-4), logo a=3, b=2, c=-4.
  • O ponto A tem coordenadas x_{1}=2, y_{1}=-1, z_{1}=3.
  • Calcular a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}:
a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}=3\cdot 2 + 2\cdot(-1) + (-4)\cdot 3.
  • Fazer as multiplicações e somas devagar:
3\cdot 2 = 6,\qquad 2\cdot(-1) = -2,\qquad (-4)\cdot 3 = -12.
6 + (-2) + (-12) = 6 - 2 - 12 = -8.
  • Portanto
a x_{1}+b y_{1}+c z_{1} = -8.
  • Assim
d = -(a x_{1}+b y_{1}+c z_{1}) = -(-8) = 8.

Passo 5

Montar a equação geral do plano substituindo a, b, c e d:
3x + 2y - 4z + 8 = 0.
Verificação rápida (opcional e didática):
  • Podemos checar que A satisfaz a equação:
3\cdot 2 + 2\cdot(-1) -4\cdot 3 + 8 = 6 -2 -12 +8 = 0,
logo está correto.
  • Também podemos escrever a forma ponto-normal antes de expandir:
3(x-2) + 2(y+1) -4(z-3) = 0,
que ao expandir dá a mesma equação encontrada.

Resposta

3x+2y-4z+8=0

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