Seja I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right].
(a) Calcule A I e I A para A=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ 4 & 1\end{array}\right];
(b) O que você conclui?
13. Seja O=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]. Mostre que A O=O A=O para qualquer matriz quadrada A.
Passo 1
O enunciado apresenta duas matrizes especiais em M_{2\times2}(\mathbb{R}):
– A matriz identidade
I = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix},
– A matriz nula
O = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Temos também uma matriz genérica
A = \begin{pmatrix}2 & -3\\[6pt]4 & 1\end{pmatrix}.
Queremos (a) calcular AI e IA e interpretar o resultado, e (b) mostrar que AO = OA = O para qualquer matriz quadrada A. Para isso vamos usar a definição de multiplicação de matrizes, em que o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira pela coluna j da segunda.]
Passo 2
Calcular AI. Pelo produto
(AI)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,I_{kj}.
Como I_{kj}=1 se k=j e 0 caso contrário, cada soma seleciona exatamente o termo A_{ij}. Logo