Seja I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right].
(a) Calcule A I e I A para A=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ 4 & 1\end{array}\right];
(b) O que você conclui?
13. Seja O=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]. Mostre que A O=O A=O para qualquer matriz quadrada A.

Passo 1

O enunciado apresenta duas matrizes especiais em M_{2\times2}(\mathbb{R}):
– A matriz identidade
I = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix},
– A matriz nula
O = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Temos também uma matriz genérica
A = \begin{pmatrix}2 & -3\\[6pt]4 & 1\end{pmatrix}.
Queremos (a) calcular AI e IA e interpretar o resultado, e (b) mostrar que AO = OA = O para qualquer matriz quadrada A. Para isso vamos usar a definição de multiplicação de matrizes, em que o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos da linha i da primeira pela coluna j da segunda.]

Passo 2

Calcular AI. Pelo produto
(AI)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,I_{kj}.
Como I_{kj}=1 se k=j e 0 caso contrário, cada soma seleciona exatamente o termo A_{ij}. Logo
AI = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-3)\cdot0 & 2\cdot0 + (-3)\cdot1\\[6pt] 4\cdot1 + 1\cdot0 & 4\cdot0 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} = A.]

Passo 3

Calcular IA. Pelo mesmo raciocínio,
(IA)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} I_{ik}\,A_{kj},
e como I_{ik} “seleciona” A_{ij}, obtemos
IA = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 0\cdot4 & 1\cdot(-3) + 0\cdot1\\[6pt] 0\cdot2 + 1\cdot4 & 0\cdot(-3) + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} = A.]

Passo 4

Conclusão para I: tanto AI = A quanto IA = A. Isso mostra que I é elemento neutro para a multiplicação em M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Passo 5

Calcular AO. Novamente
(AO)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,O_{kj}.
Como todos os O_{kj}=0, cada soma é zero, logo
AO = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = O.]

Passo 6

Calcular OA. De modo semelhante,
(OA)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} O_{ik}\,A_{kj} = 0,
pois todo O_{ik}=0. Então
OA = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = O.]

Passo 7

Conclusão para O: tanto AO = O quanto OA = O, mostrando que a matriz nula anula a multiplicação em M_{2\times2}(\mathbb{R}).

Resposta

AI = IA = A, ou seja, I é o elemento neutro do produto matricial. AO = OA = O, ou seja, O anula qualquer matriz sob multiplicação.

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