Seja triangle A B C tal que:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 3 \end{array}\right] \quad \mathbf{C}=\left[\begin{array}{c} 4 \\\\ -1 \\\\ 2 \end{array}\right]
Encontre K \in \overline{A C} tal que \frac{A K}{K C}=\frac{2}{1}.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo:
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{bmatrix},\qquad \mathbf{C}=\begin{bmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Pede-se encontrar um ponto \mathbf{K} sobre o segmento \overline{AC} tal que a razão entre os comprimentos dos subsegmentos satisfaz
\frac{A K}{K C}=\frac{2}{1}.
Ou seja, \mathbf{K} divide o segmento AC internamente na razão 2:1 medida a partir de A.]

Passo 2

Vamos representar qualquer ponto \mathbf{K} no segmento \overline{AC} por um parâmetro t\in[0,1] usando a forma afim (parâmetro de posição):
\mathbf{K}=\mathbf{A}+t(\mathbf{C}-\mathbf{A}).
Aqui t é a fração do caminho de \mathbf{A} até \mathbf{C}: se t=0 então \mathbf{K}=\mathbf{A}, se t=1 então \mathbf{K}=\mathbf{C}, e valores entre 0 e 1 dão pontos internos do segmento.
O comprimento de \overline{A K} é proporcional a t e o de \overline{K C} é proporcional a 1-t. Assim a razão pedida é
\frac{A K}{K C}=\frac{t}{1-t}.
Queremos que isso valha \dfrac{2}{1}, então resolvemos a equação
\frac{t}{1-t}=\frac{2}{1}.

Passo 3

Resolver \dfrac{t}{1-t}=\dfrac{2}{1}:
t=2(1-t)\quad\Rightarrow\quad t=2-2t\quad\Rightarrow\quad 3t=2\quad\Rightarrow\quad t=\frac{2}{3}.
Portanto \mathbf{K} está a \tfrac{2}{3} do caminho de \mathbf{A} para \mathbf{C}. Escrevendo \mathbf{K} como combinação convexa:
\mathbf{K}=(1-t)\mathbf{A}+t\mathbf{C}=\frac{1}{3}\mathbf{A}+\frac{2}{3}\mathbf{C}.

Passo 4

Agora calculamos componente a componente. Usamos as coordenadas de \mathbf{A} e \mathbf{C} fornecidas:
\mathbf{K}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix}+\frac{2}{3}\begin{bmatrix}4\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{3}\\[6pt]\dfrac{0}{3}+\dfrac{-2}{3}\\[6pt]\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\dfrac{9}{3}\\[6pt]-\dfrac{2}{3}\\[6pt]\dfrac{5}{3}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\\[6pt]-\dfrac{2}{3}\\[6pt]\dfrac{5}{3}\end{bmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (opcional, só para ficar tranquilo): \mathbf{K}-\mathbf{A}=\tfrac{2}{3}(\mathbf{C}-\mathbf{A}) e \mathbf{C}-\mathbf{K}=\tfrac{1}{3}(\mathbf{C}-\mathbf{A}). Assim
\frac{A K}{K C}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}}=2,
logo a razão pedida é satisfeita e \mathbf{K} está realmente no segmento \overline{AC}.

Resposta

\mathbf{K}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]-\dfrac{2}{3}\\[4pt]\dfrac{5}{3}\end{bmatrix}]

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