Seja A=\left[\begin{array}{ll} -3 & 4 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right] Utilize a forma diagonal de A para encontrar a matriz A^{100}. Passo 1O enunciado dá a matriz A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix} e pede A^{100} usando a forma diagonal. Vamos diagonalizar A: encontrar valores próprios \lambda_1,\lambda_2, vetores próprios, montar P e D tal que A = P\,D\,P^{-1}, e então usar A^{100} = P\,D^{100}\,P^{-1}. Passo 2Calculamos o polinômio característico de A: \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 4 \\\\ -1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (-3-\lambda)(2-\lambda) - (4)(-1) = \lambda^2 + \lambda - 2. As raízes são \lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}, logo \lambda_1 = 1 e \lambda_2 = -2. Passo 3Para \lambda_1 = 1, resolvemos (A - I)v=0: \begin{pmatrix}-4 & 4 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Rightarrow\; x = y, vetor próprio v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. Para \lambda_2 = -2, (A + 2I)v=0 dá \begin{pmatrix}-1 & 4 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Rightarrow\; x = 4y, vetor próprio v_2 = \begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}. Montamos P = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & -2\end{pmatrix}. O determinante de P é \det P = 1\cdot1 - 4\cdot1 = -3, então P^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix}1 & -4 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & 4/3 \\[6pt] 1/3 & -1/3 \end{pmatrix}.] Passo 4Como (-2)^{100} = 2^{100}, temos D^{100} = \begin{pmatrix}1^{100} & 0 \\[3pt]0 & (-2)^{100}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 2^{100}\end{pmatrix}, e então A^{100} = P\,D^{100}\,P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 2^{100}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/3 & 4/3 \\[3pt] 1/3 & -1/3 \end{pmatrix}.] Passo 5Primeiro multiplicamos P por D^{100}: \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 2^{100}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 4\cdot2^{100} \\[3pt]1 & 2^{100}\end{pmatrix}. Depois multiplicamos pelo P^{-1}: A^{100} = \begin{pmatrix}1 & 4\cdot2^{100} \\\\ 1 & 2^{100}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/3 & 4/3 \\[3pt] 1/3 & -1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 + 4\cdot2^{100} & 4 - 4\cdot2^{100} \\[6pt] -1 + 2^{100} & 4 - 2^{100} \end{pmatrix}.] Resposta A^{100} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4\cdot2^{100} - 1 & 4\,(1 - 2^{100}) \\[6pt] 2^{100} - 1 & 4 - 2^{100} \end{pmatrix}.] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que [T]_{B}^{B}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -2 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right) onde B é uma base de \mathbb{R}^{3}. O operador linear T é diagonalizável? Por quê? Encontre as possibilidades para o polinômio minimal de um operador linear T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{5} sabendo que T tem polinômio característico: (a) p_{T}(x)=(x-3)^{2}(x-2)^{3}; (b) p_{T}(x)=(x-3)(x-2)(x-1)(x+2)(x+1); (c) p_{T}(x)=(x-1)^{2}(x+2)^{2}(x+1). É possível concluir, em algum dos casos, que T é diagonalizável? Por quê? Sejam n \in \mathbb{N} e a \in \mathbb{R} com a \neq 0. Calcule uma expressão para a matriz p(A), onde A=\left(\begin{array}{ll} 1 & a \\\ a & 1 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad p(x)=2 x^{n} Dados os vetores vec{u}=(2,1,0), vec{v}=(1,-1,3) e vec{w}=(0,4,-2) em \mathbb{R}^{3}, calcule: O cosseno do ângul entre os vetores vec{u} e vec{v}.