Seja
A=\left[\begin{array}{ll} -3 & 4 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right]
Utilize a forma diagonal de A para encontrar a matriz A^{100}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}
e pede A^{100} usando a forma diagonal. Vamos diagonalizar A: encontrar valores próprios \lambda_1,\lambda_2, vetores próprios, montar P e D tal que A = P\,D\,P^{-1}, e então usar
A^{100} = P\,D^{100}\,P^{-1}.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 4 \\\\ -1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (-3-\lambda)(2-\lambda) - (4)(-1) = \lambda^2 + \lambda - 2.
As raízes são
\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2},
logo \lambda_1 = 1 e \lambda_2 = -2.

Passo 3

Para \lambda_1 = 1, resolvemos (A - I)v=0:
\begin{pmatrix}-4 & 4 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Rightarrow\; x = y,
vetor próprio v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = -2, (A + 2I)v=0
\begin{pmatrix}-1 & 4 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Rightarrow\; x = 4y,
vetor próprio v_2 = \begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.
Montamos
P = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.
O determinante de P é \det P = 1\cdot1 - 4\cdot1 = -3, então
P^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix}1 & -4 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & 4/3 \\[6pt] 1/3 & -1/3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Como (-2)^{100} = 2^{100}, temos
D^{100} = \begin{pmatrix}1^{100} & 0 \\[3pt]0 & (-2)^{100}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 2^{100}\end{pmatrix},
e então
A^{100} = P\,D^{100}\,P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 2^{100}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/3 & 4/3 \\[3pt] 1/3 & -1/3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Primeiro multiplicamos P por D^{100}:
\begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 2^{100}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 4\cdot2^{100} \\[3pt]1 & 2^{100}\end{pmatrix}.
Depois multiplicamos pelo P^{-1}:
A^{100} = \begin{pmatrix}1 & 4\cdot2^{100} \\\\ 1 & 2^{100}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1/3 & 4/3 \\[3pt] 1/3 & -1/3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 + 4\cdot2^{100} & 4 - 4\cdot2^{100} \\[6pt] -1 + 2^{100} & 4 - 2^{100} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{100} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4\cdot2^{100} - 1 & 4\,(1 - 2^{100}) \\[6pt] 2^{100} - 1 & 4 - 2^{100} \end{pmatrix}.]

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