Encontre as possibilidades para o polinômio minimal de um operador linear
sabendo que
tem polinômio característico:
(a)
;
(b)
;
(c)
.
É possível concluir, em algum dos casos, que
é diagonalizável? Por quê?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede, em cada caso, todas as possíveis formas do polinômio minimal de
sabendo que ele deve dividir o polinômio característico
e conter cada fator linear
com expoente pelo menos 1 e no máximo igual ao da multiplicidade em
. Além disso, lembramos que
é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio minimal se factoriza em raízes simples (isto é, nenhum fator repetido).
Passo 2
Caso (a):
.
O minimal deve ser
O minimal deve ser
com
e
.
Logo há possibilidades:
Logo há
Passo 3
Caso (b):
tem cinco raízes distintas.
O minimal deve usar cada fator exatamente uma vez, pois não há expoentes maiores que 1 em . Assim existe uma única possibilidade:
O minimal deve usar cada fator exatamente uma vez, pois não há expoentes maiores que 1 em
Passo 4
Caso (c):
.
O minimal deve ser
O minimal deve ser
com
e
.
Isso dá possibilidades:
Isso dá
Passo 5
Diagonalizabilidade:
é diagonalizável ⇔
não tem fatores repetidos.
No caso (b) já vimos que
No caso (b) já vimos que
é produto de raízes simples, logo
é diagonalizável em (b).
Nos casos (a) e (c) os mínimos podem ter expoentes maiores que 1, então não dá para concluir que seja diagonalizável sem informação extra.
Nos casos (a) e (c) os mínimos podem ter expoentes maiores que 1, então não dá para concluir que
Resposta
(a) As 6 possibilidades são
(b) Há só uma:
(c) As 4 possibilidades são
é diagonalizável apenas em (b), pois aí o polinômio minimal tem todas as raízes simples.