Encontre as possibilidades para o polinômio minimal de um operador linear T: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{5} sabendo que T tem polinômio característico:
(a) p_{T}(x)=(x-3)^{2}(x-2)^{3};
(b) p_{T}(x)=(x-3)(x-2)(x-1)(x+2)(x+1);
(c) p_{T}(x)=(x-1)^{2}(x+2)^{2}(x+1).
É possível concluir, em algum dos casos, que T é diagonalizável? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede, em cada caso, todas as possíveis formas do polinômio minimal de T sabendo que ele deve dividir o polinômio característico p_T e conter cada fator linear (x-\lambda) com expoente pelo menos 1 e no máximo igual ao da multiplicidade em p_T. Além disso, lembramos que T é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio minimal se factoriza em raízes simples (isto é, nenhum fator repetido).

Passo 2

Caso (a): \displaystyle p_T(x)=(x-3)^{2}(x-2)^{3}.
O minimal deve ser
m_T(x)=(x-3)^{i}\,(x-2)^{j},
com 1\le i\le2 e 1\le j\le3.
Logo há 2\times3=6 possibilidades:
(i,j)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3).

Passo 3

Caso (b): \displaystyle p_T(x)=(x-3)(x-2)(x-1)(x+2)(x+1) tem cinco raízes distintas.
O minimal deve usar cada fator exatamente uma vez, pois não há expoentes maiores que 1 em p_T. Assim existe uma única possibilidade:
m_T(x)=(x-3)(x-2)(x-1)(x+2)(x+1).

Passo 4

Caso (c): \displaystyle p_T(x)=(x-1)^{2}(x+2)^{2}(x+1).
O minimal deve ser
m_T(x)=(x-1)^{i}\,(x+2)^{j}\,(x+1),
com i=1,2 e j=1,2.
Isso dá 2\times2=4 possibilidades:
(i,j)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2).

Passo 5

Diagonalizabilidade: T é diagonalizável ⇔ m_T(x) não tem fatores repetidos.
No caso (b) já vimos que
m_T(x)=(x-3)(x-2)(x-1)(x+2)(x+1)
é produto de raízes simples, logo T é diagonalizável em (b).
Nos casos (a) e (c) os mínimos podem ter expoentes maiores que 1, então não dá para concluir que T seja diagonalizável sem informação extra.

Resposta

(a) As 6 possibilidades são \{(x-3)^{i}(x-2)^{j}\mid i=1,2,\;j=1,2,3\}. (b) Há só uma: \{(x-3)(x-2)(x-1)(x+2)(x+1)\}. (c) As 4 possibilidades são \{(x-1)^{i}(x+2)^{j}(x+1)\mid i=1,2,\;j=1,2\}. T é diagonalizável apenas em (b), pois aí o polinômio minimal tem todas as raízes simples.

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