Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-2,1,3),(-3,1,5)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(2,2,1)\} . \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(2, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{3}:
H=\operatorname{span}\{(-2,1,3),(-3,1,5)\}
e
M=\operatorname{span}\{(2,2,1)\}.
Pede-se: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=(2,x_{2},x_{3}). A pergunta final é: qual é o valor de x_{3}? (há opções de múltipla escolha).

Passo 2

Primeiro lembrete/conceito importante (bem mastigado):
  • Se M=\operatorname{span}\{m\} com m=(2,2,1), então M^{\perp} é o conjunto de vetores v tais que v\cdot m=0. Aqui o produto escalar (dot product) de v=(v_{1},v_{2},v_{3}) e m=(m_{1},m_{2},m_{3}) é
v\cdot m = v_{1}m_{1}+v_{2}m_{2}+v_{3}m_{3}.
  • Se H=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}, então um vetor x\in H pode ser escrito como combinação linear x=s v_{1}+t v_{2} para alguns escalares s,t.
Vamos usar esses dois fatos: escrever \vec{x} como combinação dos geradores de H e impor a condição de ortogonalidade a m e a condição da primeira coordenada ser 2.

Passo 3

Denotando
v_{1}=(-2,1,3),\qquad v_{2}=(-3,1,5),\qquad m=(2,2,1),
escrevemos um vetor genérico de H como
\vec{x}=s v_{1}+t v_{2}=( -2s-3t,\; s+t,\; 3s+5t ).
Esta é a forma geral de qualquer vetor em H, com s,t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Impondo as condições do problema:
  1. A primeira coordenada deve ser 2. Assim
-2s-3t=2.
  1. \vec{x} deve estar em M^{\perp}, ou seja \vec{x}\cdot m=0. Calculando o produto escalar com m=(2,2,1):
\vec{x}\cdot m = 2(-2s-3t) + 2(s+t) + (3s+5t) = 0.
Vamos simplificar essa equação.

Passo 5

Simplificando a equação da ortogonalidade:
2(-2s-3t) + 2(s+t) + (3s+5t) = -4s-6t + 2s+2t + 3s+5t.
Agrupando termos semelhantes:
(-4s+2s+3s) + (-6t+2t+5t) = (1s) + (1t) = s+t.
Portanto a condição \vec{x}\cdot m=0\) reduz-se a \[s+t=0.
Agora temos o sistema linear simples
\begin{cases} -2s-3t=2,\\[4pt] s+t=0. \end{cases}
Da segunda equação s+t=0\] obtemos \(t=-s. Substituindo na primeira:
-2s-3(-s) = -2s+3s = s = 2.
Logo s=2 e t=-2.]

Passo 6

Com s=2 e t=-2 calculamos as coordenadas de \vec{x}:
x_{2}=s+t=2+(-2)=0,
x_{3}=3s+5t=3\cdot2 + 5\cdot(-2)=6-10=-4.
Portanto o vetor buscado é \vec{x}=(2,0,-4). É único com a primeira coordenada igual a 2 porque as equações lineares que usamos determinaram s e t de forma única.

Resposta

-4

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