Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
e
Pede-se: encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
. A pergunta final é: qual é o valor de
? (há opções de múltipla escolha).
Passo 2
Primeiro lembrete/conceito importante (bem mastigado):
- Se
com , então é o conjunto de vetores tais que . Aqui o produto escalar (dot product) de e é
- Se
, então um vetor pode ser escrito como combinação linear para alguns escalares .
Vamos usar esses dois fatos: escrever
como combinação dos geradores de
e impor a condição de ortogonalidade a
e a condição da primeira coordenada ser
.
Passo 3
Denotando
escrevemos um vetor genérico de
como
Esta é a forma geral de qualquer vetor em
, com
.
Passo 4
Impondo as condições do problema:
- A primeira coordenada deve ser
. Assim
-
deve estar em , ou seja . Calculando o produto escalar com :
Vamos simplificar essa equação.
Passo 5
Simplificando a equação da ortogonalidade:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto a condição
Agora temos o sistema linear simples
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Logo
e
.]
Passo 6
Com
e
calculamos as coordenadas de
:
Portanto o vetor buscado é
. É único com a primeira coordenada igual a
porque as equações lineares que usamos determinaram
e
de forma única.