Seja W o plano -x+2 y+z=0.
(a) Escreva as equações paramétricas e vetorial do plano W. (1 pt)
(b) Justifique porque W é um subespaço de \mathbb{R}^{3} e obtenha uma base para W .(1 \mathrm{pt})
(c) Obtenha uma base \left\{\overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}, \overrightarrow{v_{3}}\right\} de \mathbb{R}^{3} tal que \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} \in W .(1 \mathrm{pt})
(d) Obtenha uma base ortonormal para \mathbb{R}^{3} a partir de \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} e \overrightarrow{v_{3}} .(1 \mathrm{pt})
Passo 1
O enunciado dá o plano W definido pela equação
-x+2y+z=0.
Perguntas:
(a) Escrever as equações paramétricas e a equação vetorial de W.
(b) Justificar por que W é um subespaço de \mathbb{R}^3 e obter uma base de W.
(c) Encontrar uma base \{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}\} de \mathbb{R}^3 tal que \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\in W.
(d) A partir de \overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3} obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes dadas: a equação linear homogênea do plano W. Não há ponto particular diferente da origem indicado, portanto o plano passa pela origem (pois a equação é homogênea).
Passo 2
(a) Equações paramétricas e equação vetorial de W.
Primeiro eu isol o x na equação -x+2y+z=0. Somando x dos dois lados e subtraindo 2y+z dos dois lados vem
x=2y+z.
Agora escolho parâmetros para as variáveis livres: seja y=s e z=t, com s,t\in\mathbb{R}. Então
Observação: escolhi s associando-se a y e t a z; outras escolhas de parâmetros são possíveis, a forma essencial é a mesma: W=\operatorname{span}\{(2,1,0),(1,0,1)\}.
Passo 3
(b) Justificativa de que W é subespaço de \mathbb{R}^3 e obtenção de base.
Definição prática: um subconjunto S\subset\mathbb{R}^3 é subespaço se contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Zero: tomando s=0,t=0 na forma paramétrica obtemos (0,0,0)\in W. Logo contém o zero.
Fechamento em soma: pegue u=(2s_1+t_1,s_1,t_1) e v=(2s_2+t_2,s_2,t_2) em W. Então
u+v=(2(s_1+s_2)+(t_1+t_2),\,s_1+s_2,\,t_1+t_2),
que corresponde aos parâmetros s=s_1+s_2, t=t_1+t_2, então u+v\in W.
Da segunda equação \alpha=0 e da primeira segue \beta=0. Logo só a combinação trivial anula, então são independentes. Como geram W (pela forma paramétrica) e são independentes, formam uma base de W. Conclusão: \dim W=2 e uma base é
(c) Construir uma base de \mathbb{R}^3 que contenha dois vetores de W.
Já tenho dois vetores em W: tome \overrightarrow{v_1}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \overrightarrow{v_2}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para completar uma base de \mathbb{R}^3 preciso de um vetor \overrightarrow{v_3} que não esteja em W (ou seja, que não seja combinação linear dos dois anteriores). Uma escolha natural é o vetor normal ao plano, dado pelos coeficientes da equação: \overrightarrow{n}=(-1,2,1). Esse vetor satisfaz -(-1)+2\cdot 2 + 1 = 6\neq 0, logo não está em W. Defino
Agora verifico que \{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}\} é base (ou seja, é conjunto de 3 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3). Calculo o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
portanto \overrightarrow{v_3}\cdot e_2=0 também. Assim u_3=\overrightarrow{v_3}; ou seja \overrightarrow{v_3} já é ortogonal a v_1 e a componente ortogonal gerada por v_2. Calculo a norma de \overrightarrow{v_3}:
que é ortonormal e geradora de \mathbb{R}^3. (Pequena alegria: neste caso v_3 era exatamente ortogonal aos dois primeiros, então o terceiro vetor da ortonormalização ficou simplesmente v_3 normalizado.)
(b) W é subespaço de \mathbb{R}^3 (contém 0 e é fechado sob soma e produto por escalar). Uma base de W é \left\{\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
(c) Uma base de \mathbb{R}^3 com dois vetores em W é \left\{\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.