Considere \mathcal{B}=\{(2,1),(1,1)\} e \mathcal{B}^{\prime}=\{(0,1),(3,1)\} duas bases de \mathbb{R}^{2}. Considere também uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que [T]_{\mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ll}2 & \frac{5}{3} \\\\ 1 & \frac{1}{3}\end{array}\right]. Então T(1,2) é igual a:
Escolha uma opção:
a. (-1,1)
(6,9)
c. (0,3)
(-) d. (1,8)
\bigcirc e. (6,6)

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2:
\mathcal{B}=\{b_1=(2,1),\,b_2=(1,1)\} para o domínio e
\mathcal{B}'=\{b'_1=(0,1),\,b'_2=(3,1)\} para o contradomínio, e a matriz de T relativa a essas bases é
[T]_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & \tfrac{5}{3}\\\\ 1 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
Queremos calcular T(1,2) em coordenadas padrão.

Passo 2

Primeiro achamos as coordenadas de v=(1,2)\) na base \(\mathcal{B}\). Buscamos \(c_1,c_2\) tais que \[c_1(2,1) + c_2(1,1) = (1,2).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2c_1 + c_2 = 1,\\\ c_1 + c_2 = 2. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira vem c_1 = -1\] e daí \(c_2 = 3. Logo
[v]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora aplicamos a matriz de T para obter as coordenadas de T(v) em \mathcal{B}':
[T(v)]_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 2 & \tfrac{5}{3}\\\\ 1 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot(-1) + \tfrac{5}{3}\cdot 3\\\\ 1\cdot(-1) + \tfrac{1}{3}\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 5\\\\ -1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\\\ 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como [T(v)]_{\mathcal{B}'}=(3,0), temos
T(v) = 3\,b'_1 + 0\,b'_2 = 3\,(0,1) + 0\,(3,1) = (0,3).

Resposta

c. (0,3)

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