Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas equações podem ser mais de um tipo. Não as resolva.
\frac{d y}{d x} \neq \frac{1}{y-x}

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a seguinte equação diferencial (não resolver):
\frac{dy}{dx} \neq \frac{1}{y-x}
Vou interpretar que a intenção é a igualdade (uma equação diferencial com `` \neq’’ não faria sentido aqui), ou seja, a equação que vamos analisar é
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y-x}.
O pedido é indicar, entre as categorias: separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli, quais se aplicam (podendo ser mais de uma). Não devo resolver a equação, apenas classificá‑la.

Passo 2

Teste de separabilidade — o que é e como testar:
Definição: uma EDO de 1ª ordem é separável se pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
ou equivalentemente
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
ou seja, um lado depende só de x e o outro só de y.
Aplicando ao nosso caso: temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y-x}.
Tentar colocar em produto g(x)h(y) significa escrever \dfrac{1}{y-x} como função de x vezes função de y. Mas \dfrac{1}{y-x} depende do par (x,y) por meio da diferença y-x, não podendo ser separada em um fator contendo só x multiplicado por outro contendo só y. Outra forma de ver: multiplicando, obtemos
(y-x)\,dy = dx.
No lado esquerdo ainda aparece mistura de x e y, logo não está na forma separável direta. Conclusão: a equação não é separável de forma direta.
Observação prática (didática): existe a substituição clássica u=y-x que leva a uma EDO apenas em u, e esta EDO resultante é separável — isto é, a equação é “reduzível” a separável por substituição linear. Mas, estritamente falando, ela não é separável no sentido direto da definição usada em provas, portanto marcamos “não separável” se exigirem separabilidade direta.

Passo 3

Teste de linearidade — o que é e como testar:
Definição: uma EDO de 1ª ordem é linear se pode ser escrita na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P e Q dependem apenas de x. Nessa forma, y aparece no primeiro grau e não dentro de funções não lineares (como no denominador ou em potências diferentes de 1).
No nosso caso temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y-x}.
O lado direito depende de y de forma não afim (está dentro de um inverso), então não é possível rearranjar a equação para a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) com P e Q apenas funções de x. Por exemplo, tentar escrever \dfrac{1}{y-x} como A(x)+B(x)\,y é impossível (não é afim em y). Conclusão: não é linear.

Passo 4

Teste de homogeneidade — o que é e como testar:
Definição (forma usuais): uma equação do tipo \dfrac{dy}{dx}=f(x,y) é homogênea de grau zero (às vezes chamada simplesmente homogênea) se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t\neq 0. Para equações de 1ª ordem isso equivale a ter f depender apenas da razão \dfrac{y}{x}, ou seja f(x,y)=F\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
No nosso caso f(x,y)=\dfrac{1}{y-x}. Verificamos se isso pode ser escrito só em função de y/x. A dependência é por diferença y-x, não por razão y/x. Portanto não satisfaz a propriedade f(tx,ty)=f(x,y) (por exemplo, escalar x,y por t muda y-x para t(y-x) e muda o valor de f por fator 1/t). Conclusão: a equação não é homogênea no sentido usual.

Passo 5

Teste de exatidão — conceito e aplicação:
Transformamos a EDO para a forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
A partir de
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y-x}
multiplicamos por dx e trazemos tudo para o lado esquerdo:
(y-x)\,dy - dx = 0.
Logo
M(x,y) = -1,\qquad N(x,y)=y-x.
A condição de exatidão é \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}. Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-1.
Como 0 \neq -1, a equação não é exata na forma dada.
Ainda assim, existe um truque muito útil: procurar um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata. As condições práticas são:
  • se \dfrac{1}{N}\bigl(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\bigr) depende só de x, existe \mu(x);
  • se \dfrac{1}{M}\bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\bigr) depende só de y, existe \mu(y).
Aqui calculamos
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} = -1-0 = -1,
e
\frac{1}{M}\bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\bigr) = \frac{-1}{-1}=1,
que é função constante (ou seja, depende só de y). Logo existe um fator integrante dependente apenas de y. Esse fator é
\mu(y)=\exp\!\left(\int 1\,dy\right)=e^{y}.
Portanto: a equação não é exata originalmente, mas admite fator integrante \mu(y)=e^{y} que a torna exata. Para classificação direta: “não exata” é o correto, com a observação de que um fator integrante em y existe.

Passo 6

Teste de Bernoulli — definição e verificação:
Equação de Bernoulli tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
onde n\neq 0,1 dá a não linearidade (mas às vezes a forma geral é considerada para qualquer n). Para n=-1 ela envolveria termos como 1/y, mas ainda assim o lado direito deve ser do tipo Q(x)\,y^{n}, ou seja produto de função só de x por potência de y.
No nosso caso \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{y-x} não pode ser posta na forma acima porque o denominador é y-x, que mistura x e y de modo que não é um produto Q(x)\,y^{n}. Mesmo tentando manipular, não se obtém a forma de Bernoulli com P e Q dependendo só de x e uma potência pura de y. Conclusão: não é equação de Bernoulli.

Passo 7

Resumo do raciocínio (para fixar a ideia):
  • Separável (direto)? Não — porque \dfrac{1}{y-x} não é produto de função só de x por função só de y. (Obs.: pode-se reduzir a separável por substituição u=y-x, mas isso não conta como separabilidade direta.)
  • Linear? Não — y aparece de modo não afim (está no denominador dentro de 1/(y-x)).
  • Homogênea? Não — depende de diferença y-x, não da razão y/x.
  • Exata? Não inicialmente — \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x. Porém admite fator integrante \mu(y)=e^{y} que a torna exata.
  • Bernoulli? Não — não pode ser escrita como \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} com P,Q só funções de x.

Resposta

Separável: não
Exata: não (admite fator integrante \mu(y)=e^{y})
Linear: não
Homogênea: não
Bernoulli: não

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