Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas equações podem ser mais de um tipo. Não as resolva.
\frac{d y}{d x} \neq \frac{1}{y-x}
\frac{d y}{d x} \neq \frac{1}{y-x}
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a seguinte equação diferencial (não resolver):
Vou interpretar que a intenção é a igualdade (uma equação diferencial com ``
’’ não faria sentido aqui), ou seja, a equação que vamos analisar é
O pedido é indicar, entre as categorias: separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli, quais se aplicam (podendo ser mais de uma). Não devo resolver a equação, apenas classificá‑la.
Passo 2
Teste de separabilidade — o que é e como testar:
Definição: uma EDO de 1ª ordem é separável se pode ser escrita na forma
Definição: uma EDO de 1ª ordem é separável se pode ser escrita na forma
ou equivalentemente
ou seja, um lado depende só de
e o outro só de
.
Aplicando ao nosso caso: temos
Tentar colocar em produto
significa escrever
como função de
vezes função de
. Mas
depende do par
por meio da diferença
, não podendo ser separada em um fator contendo só
multiplicado por outro contendo só
. Outra forma de ver: multiplicando, obtemos
No lado esquerdo ainda aparece mistura de
e
, logo não está na forma separável direta. Conclusão: a equação não é separável de forma direta.
Observação prática (didática): existe a substituição clássica
que leva a uma EDO apenas em
, e esta EDO resultante é separável — isto é, a equação é “reduzível” a separável por substituição linear. Mas, estritamente falando, ela não é separável no sentido direto da definição usada em provas, portanto marcamos “não separável” se exigirem separabilidade direta.
Passo 3
Teste de linearidade — o que é e como testar:
Definição: uma EDO de 1ª ordem é linear se pode ser escrita na forma
Definição: uma EDO de 1ª ordem é linear se pode ser escrita na forma
onde
e
dependem apenas de
. Nessa forma,
aparece no primeiro grau e não dentro de funções não lineares (como no denominador ou em potências diferentes de 1).
No nosso caso temos
O lado direito depende de
de forma não afim (está dentro de um inverso), então não é possível rearranjar a equação para a forma
com
e
apenas funções de
. Por exemplo, tentar escrever
como
é impossível (não é afim em
). Conclusão: não é linear.
Passo 4
Teste de homogeneidade — o que é e como testar:
Definição (forma usuais): uma equação do tipo é homogênea de grau zero (às vezes chamada simplesmente homogênea) se
para todo
. Para equações de 1ª ordem isso equivale a ter
depender apenas da razão
, ou seja
.
Definição (forma usuais): uma equação do tipo
No nosso caso
. Verificamos se isso pode ser escrito só em função de
. A dependência é por diferença
, não por razão
. Portanto não satisfaz a propriedade
(por exemplo, escalar
por
muda
para
e muda o valor de
por fator
). Conclusão: a equação não é homogênea no sentido usual.
Passo 5
Teste de exatidão — conceito e aplicação:
Transformamos a EDO para a forma diferencial
Transformamos a EDO para a forma diferencial
A partir de
multiplicamos por
e trazemos tudo para o lado esquerdo:
Logo
A condição de exatidão é
. Calculemos:
Como
, a equação não é exata na forma dada.
Ainda assim, existe um truque muito útil: procurar um fator integrante
ou
tal que
seja exata. As condições práticas são:
- se
depende só de , existe ; - se
depende só de , existe .
Aqui calculamos
e
que é função constante (ou seja, depende só de
). Logo existe um fator integrante dependente apenas de
. Esse fator é
Portanto: a equação não é exata originalmente, mas admite fator integrante
que a torna exata. Para classificação direta: “não exata” é o correto, com a observação de que um fator integrante em
existe.
Passo 6
Teste de Bernoulli — definição e verificação:
Equação de Bernoulli tem a forma
Equação de Bernoulli tem a forma
onde
dá a não linearidade (mas às vezes a forma geral é considerada para qualquer
). Para
ela envolveria termos como
, mas ainda assim o lado direito deve ser do tipo
, ou seja produto de função só de
por potência de
.
No nosso caso
não pode ser posta na forma acima porque o denominador é
, que mistura
e
de modo que não é um produto
. Mesmo tentando manipular, não se obtém a forma de Bernoulli com
e
dependendo só de
e uma potência pura de
. Conclusão: não é equação de Bernoulli.
Passo 7
Resumo do raciocínio (para fixar a ideia):
- Separável (direto)? Não — porque
não é produto de função só de por função só de . (Obs.: pode-se reduzir a separável por substituição , mas isso não conta como separabilidade direta.) - Linear? Não —
aparece de modo não afim (está no denominador dentro de ). - Homogênea? Não — depende de diferença
, não da razão . - Exata? Não inicialmente —
. Porém admite fator integrante que a torna exata. - Bernoulli? Não — não pode ser escrita como
com só funções de .
Resposta
Separável: não
Exata: não (admite fator integrante )
Linear: não
Homogênea: não
Bernoulli: não
Exata: não (admite fator integrante
Linear: não
Homogênea: não
Bernoulli: não