Seja o sistema linear A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]. Encontre o conjunto solução para os seguintes vetores B usando a inversa de A.
B=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Foi dado o sistema linear A X = B.
  • A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix}.
  • O vetor do segundo membro é
B = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{pmatrix}.
  • A pergunta é: encontrar o conjunto solução X para esse B usando a inversa de A.
    Isso significa que, se A for inversível, devemos calcular A^{-1} e então X = A^{-1}B.

Passo 2

Conceito e plano (passo-a-passo do que vamos usar):
  • Definição útil: se uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1}, então a solução do sistema A X = B é
X = A^{-1} B.
  • Para obter A^{-1} usaremos a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A),
onde \det(A) é o determinante de A e \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (a transposta da matriz dos cofatores). Vou calcular \det(A), depois os menores e cofatores, depois a adjunta e finalmente A^{-1}. Por fim multiplico A^{-1} por B.

Passo 3

Calcular o determinante de A. Expansão pela primeira linha (ou regra de Sarrus) para matriz 3\times3:
\det(A) = 3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} - 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} + (-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
Agora calcule cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = 0\cdot1 - 1\cdot(-1) = 1,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} = (-1)\cdot1 - 1\cdot(-1) = -1 + 1 = 0,
\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix} = (-1)\cdot(-1) - 0\cdot(-1) = 1.
Substituindo:
\det(A) = 3\cdot 1 - 1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 = 3 + (-2) = 1.
Comentário amigável: ótimo — \det(A)=1, não zero, logo A é invertível e ainda por cima o fator 1/\det(A) é 1, o que simplifica cálculo da inversa.

Passo 4

Calcular a matriz dos cofatores (vamos fazer menor por menor). Para cada elemento a_{ij} calculamos o menor M_{ij} (determinante da submatriz que sobra) e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Cofatores linha a linha:
  • Para i=1: M_{11}=\det\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=1,\qquad C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=0,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-0=0.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-1 & 0 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=1,\qquad C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=1.
  • Para i=2: M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1 - (-2)\cdot(-1)=1-2=-1,
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot(-1)=1.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1 - (-2)\cdot(-1)=3-2=1,
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=1\cdot1=1.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}=3\cdot(-1)-1\cdot(-1)=-3+1=-2,
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-2)=2.
  • Para i=3: M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1 - (-2)\cdot0=1,
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=1\cdot1=1.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1 - (-2)\cdot(-1)=3-2=1,
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot1=-1.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}=3\cdot0 - 1\cdot(-1)=1,
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=1\cdot1=1.
Assim a matriz dos cofatores é
\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Formar a adjunta (adjugate) e a inversa. A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
E como \det(A)=1, a inversa é simplesmente
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) = 1\cdot\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Dica prática: quando \det(A)=1 a inversa é só a adjunta — por isso valeu a pena calcular o determinante antes.

Passo 6

Calcular a solução X=A^{-1}B. Multiplicamos a matriz inversa pelo vetor B:
A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -1 \\[4pt] 1 & 2 & 1\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{pmatrix}.
Multiplicando linha a linha:
x_1 = 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1 - 1 + 1 = 1,
x_2 = 0\cdot 1 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 = 0 -1 -1 = -2,
x_3 = 1\cdot 1 + 2\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1 -2 +1 = 0.
Portanto
X = \begin{pmatrix}1 \\\\ -2 \\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (importante na prova): calcular A X deve retornar B. Faço as multiplicações para checar:
A X = \begin{pmatrix}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\\\ -2 \\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1 + 1\cdot(-2) + (-2)\cdot 0 \\\\ -1\cdot1 + 0\cdot(-2) + 1\cdot 0 \\\\ -1\cdot1 + (-1)\cdot(-2) + 1\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{pmatrix} = B,
confirmando que a solução está correta. Vai dar certo na prova — respira e confia no cálculo.

Resposta

\begin{pmatrix}1 \\\\ -2 \\\\ 0\end{pmatrix}

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