Seja o sistema linear A X=B onde A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]. Encontre o conjunto solução para os seguintes vetores B usando a inversa de A. B=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]
A pergunta é: encontrar o conjunto solução X para esse B usando a inversa de A.
Isso significa que, se A for inversível, devemos calcular A^{-1} e então X = A^{-1}B.
Passo 2
Conceito e plano (passo-a-passo do que vamos usar):
Definição útil: se uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1}, então a solução do sistema A X = B é
X = A^{-1} B.
Para obter A^{-1} usaremos a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A),
onde \det(A) é o determinante de A e \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (a transposta da matriz dos cofatores). Vou calcular \det(A), depois os menores e cofatores, depois a adjunta e finalmente A^{-1}. Por fim multiplico A^{-1} por B.
Passo 3
Calcular o determinante de A. Expansão pela primeira linha (ou regra de Sarrus) para matriz 3\times3:
Comentário amigável: ótimo — \det(A)=1, não zero, logo A é invertível e ainda por cima o fator 1/\det(A) é 1, o que simplifica cálculo da inversa.
Passo 4
Calcular a matriz dos cofatores (vamos fazer menor por menor). Para cada elemento a_{ij} calculamos o menor M_{ij} (determinante da submatriz que sobra) e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Cofatores linha a linha:
Para i=1:M_{11}=\det\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}=1,\qquad C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1.