Seja W o subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4} determinado pelas soluções do sistema linear A \vec{x}=\overrightarrow{0} onde
A=\left(\begin{array}{llll} 3 & 0 & -1 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right) .
Determine uma base de W. Se T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é dada por \vec{x} \mapsto A \vec{x}, qual a relação entre W e T ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço W\subset\mathbb{R}^4 dado pelas soluções homogêneas de
A\vec{x}=\overrightarrow{0},
onde
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é encontrar a nulidade de A (o núcleo do mapeamento linear T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2, \vec{x}\mapsto A\vec{x}) e, a partir daí, determinar uma base de W.

Passo 2

Vamos reduzir A a uma forma escalonada com pivôs iguais a 1. Dividindo a primeira linha por 3, obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3}\\\\ 0 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Já temos pivôs em x_1 (coluna 1) e x_2 (coluna 2). As colunas 3 e 4 são livres.

Passo 3

Defina variáveis livres
x_3 = s, \quad x_4 = t.
Das equações escalonadas:
x_1 - \tfrac{1}{3}x_3 - \tfrac{1}{3}x_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = \tfrac{s+t}{3},
x_2 - x_3 - 2x_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = s + 2t.
Logo o vetor solução geral é
\vec{x} =\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{s+t}{3}\s+2t\s\t\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para evitar frações, escolhemos vetores escalares múltiplos desses:
w_1 = 3\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\\ 1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}, \quad w_2 = 3\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 6\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}.
Verifique que \{w_1,w_2\} é linearmente independente e gera todas as soluções; é uma base de W.

Passo 5

O mapeamento T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2 é definido por T(\vec{x})=A\vec{x}. Por definição,
\ker(T)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^4\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
Mas esse conjunto é exatamente W. Portanto, W é o núcleo (kernel) de T.

Resposta

Uma base de W é
\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1\\\ 6\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}\right\}.
Além disso, W=\ker(T), ou seja, W é o núcleo do operador linear T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2.

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