Seja
A=\left[\begin{array}{lll} 4 & 0 & 1 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 0 & 4 \end{array}\right]
(a) Encontre os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor \lambda, encontre o posto da matriz \lambda I-A.
(c) Será A diagonalizável? Justifique sua conclusão.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 1 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 0 & 4 \end{array}\right]
e pede três coisas:
  1. Encontrar os autovalores de A.
  2. Para cada autovalor \lambda, encontrar o posto (rank) da matriz \lambda I-A.
  3. Dizer se A é diagonalizável e justificar.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que usaremos: a própria matriz A e que devemos trabalhar com matrizes 3\times3. A resolução começa agora.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a definição usada para achar autovalores. Um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que
Av=\lambda v,
o que é equivalente a
(\lambda I-A)v=0.
Os autovalores são as raízes do polinômio característico
p(\lambda)=\det(\lambda I-A).
Vou calcular p(\lambda) passo a passo. Aqui \lambda I-A é a matriz obtida subtraindo A de \lambda vezes a identidade.

Passo 3

Escrevo \lambda I-A:
\lambda I-A=\left[\begin{array}{ccc} \lambda-4 & 0 & -1 \\\\ -2 & \lambda-3 & -2 \\\\ -1 & 0 & \lambda-4 \end{array}\right].
Agora calculo o determinante \det(\lambda I-A). Note que a segunda coluna tem zeros nas entradas 1 e 3, portanto é conveniente expandir pelo desenvolvimento por co-fatores ao longo da segunda coluna. Assim apenas o elemento da posição (2,2) contribui:
p(\lambda)=\det(\lambda I-A)=(\lambda-3)\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-4 & -1\\[4pt] -1 & \lambda-4 \end{array}\right).]

Passo 4

Calculo o determinante 2\times2:
\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-4 & -1\\[4pt] -1 & \lambda-4 \end{array}\right)=(\lambda-4)(\lambda-4)-(-1)(-1)=(\lambda-4)^2-1.
Portanto
p(\lambda)=(\lambda-3)\big((\lambda-4)^2-1\big).
Desenvolvendo (\lambda-4)^2-1:
(\lambda-4)^2-1=\lambda^2-8\lambda+16-1=\lambda^2-8\lambda+15.
Esse quadrático fatoriza como
\lambda^2-8\lambda+15=(\lambda-3)(\lambda-5).
Logo
p(\lambda)=(\lambda-3)(\lambda-3)(\lambda-5)=(\lambda-3)^2(\lambda-5).]

Passo 5

Das fatorações acima, os autovalores (raízes do polinômio característico) são
\lambda=3\quad\text{(com multiplicidade algébrica }2\text{)}é
e
\lambda=5\quad\text{(com multiplicidade algébrica }1\text{)}.é
Explicando os termos: a multiplicidade algébrica de um autovalor é a multiplicidade da raiz correspondente no polinômio característico.

Passo 6

Agora, para cada autovalor \lambda precisamos achar o posto de \lambda I-A. Lembrança útil: para uma matriz n\times n, a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é a nulidade de \lambda I-A, ou seja \dim\ker(\lambda I-A)=n-\operatorname{rank}(\lambda I-A) (teorema posto-nulidade). Vou calcular explicitamente \lambda I-A e achar seu posto resolvendo as equações (\lambda I-A)x=0.
Começo por \lambda=3.

Passo 7

Para \lambda=3 temos
3I-A=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & -1 \\\\ -2 & 0 & -2 \\\\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right].
Observando as linhas:
  • a segunda linha é -2 vezes a primeira: [-2,0,-2]=-2[-1,0,-1];
  • a terceira linha é igual à primeira: [-1,0,-1]=1\cdot[-1,0,-1].
    Portanto todas as linhas são múltiplos da primeira, o que significa que o posto da matriz é 1 (existe exatamente uma linha linearmente independente).
Confirmando pelo espaço nulo: a equação (3I-A)x=0 dá, pela primeira linha,
- x_1 - x_3 =0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = -x_3.
A segunda e terceira linhas não trazem equações novas (são redundantes). A variável x_2 fica livre. Assim temos dois graus de liberdade (duas variáveis livres: x_2 e x_3), então a nulidade é 2. Como n=3, isto confirma \operatorname{rank}(3I-A)=3-2=1.
Portanto, para \lambda=3:
\operatorname{rank}(3I-A)=1.
Os vetores próprios (base do espaço próprio) podem ser, por exemplo, obtidos escolhendo parâmetros: tomando x_3=1,x_2=0 dá vetor (-1,0,1); tomando x_2=1,x_3=0 dá vetor (0,1,0). Esses dois são linearmente independentes e geram o espaço próprio associado a \lambda=3.

Passo 8

Agora trato \lambda=5. Calculo
5I-A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\\\ -2 & 2 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Observação: a terceira linha é -1 vezes a primeira: [-1,0,1]=-1[1,0,-1]. Logo há dependência entre linhas, então o posto é menor que 3. Como \lambda=5 é um autovalor (polinômio característico zera em 5), o determinante é zero e o posto não pode ser 3. Verificamos se posto é 2 ou 1. Note que a primeira linha tem componente na segunda coluna igual a 0, enquanto a segunda linha tem componente na segunda coluna igual a 2, portanto a segunda linha não é combinação escalar da primeira — isto garante que existem pelo menos duas linhas linearmente independentes. Então o posto é 2.
Podemos também resolver (5I-A)x=0 para ver a nulidade explícita. Das equações obtemos:
  • da primeira linha: x_1-x_3=0\Rightarrow x_1=x_3.
  • da segunda linha: -2x_1+2x_2-2x_3=0. Substituindo x_1=x_3 -2x_3+2x_2-2x_3=0\Rightarrow 2x_2-4x_3=0\Rightarrow x_2=2x_3.
  • a terceira linha é redundante (igual a -1 vezes a primeira).
Tomando x_3=t obtemos x=(t,2t,t)=t(1,2,1). A nulidade é 1, logo \operatorname{rank}(5I-A)=3-1=2, confirmado.

Passo 9

Resumo das multiplicidades e postos encontrados:
  • Para \lambda=3: multiplicidade algébrica 2, \operatorname{rank}(3I-A)=1, nulidade (multiplicidade geométrica) =3-1=2.
  • Para \lambda=5: multiplicidade algébrica 1, \operatorname{rank}(5I-A)=2, nulidade =3-2=1.
Critério de diagonalizabilidade utilizado (explico brevemente): uma matriz n\times n é diagonalizável sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) se existe uma base de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) formada por autovetores de A. Em termos de multiplicidades, isso equivale a que, para cada autovalor, sua multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) seja igual à sua multiplicidade algébrica; e, consequentemente, a soma das multiplicidades geométricas deve ser n.
No nosso caso a soma das dimensões dos espaços próprios é 2+1=3, que é igual a n=3. Portanto existem 3 autovetores linearmente independentes e A é diagonalizável.

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda=5 (multiplicidade algébrica 1).\n
(b) \operatorname{rank}(3I-A)=1.\n
(b) \operatorname{rank}(5I-A)=2.\n
(c) A é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica de cada autovalor coincide com sua multiplicidade algébrica (dimensões dos espaços próprios: 2 para \lambda=3 e 1 para \lambda=5, soma =3).

Exercícios relacionados