Mostre que A e B não são matrizes semelhantes. A=\left[\begin{array}{rr}4 & -1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que A e B não são matrizes semelhantes. As informações dadas são as matrizes
A pergunta é: provar que não existe matriz invertível P tal que B=P^{-1}AP.]
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “semelhança” e uma propriedade útil que ela preserva. Por definição, A e B são semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que
B = P^{-1} A P.
Uma propriedade importante (e fácil de demonstrar) é que determinante é preservado por similaridade. Vou provar isso passo a passo porque é a chave do problema.
Proposição: se B = P^{-1}AP com P invertível, então
\det(B)=\det(A).
Demonstração: usando propriedades do determinante,
e portanto \det(B)=\det(A). Conclusão: determinantes diferentes implicam que as matrizes não podem ser semelhantes. (Essa é uma ferramenta simples e poderosa — por isso a usamos.)
Passo 3
Agora calculamos o determinante de A. Para uma matriz 2\times2
Comparando os determinantes obtidos temos \det(A)=18 e \det(B)=14. Pela proposição do Passo 2, se A e B fossem semelhantes deveríamos ter \det(A)=\det(B). Como esses valores são diferentes, concluímos que não existe matriz invertível P com B=P^{-1}AP. Portanto A e B não são semelhantes.
(Comentário extra breve para fixar: em matrizes 2\times2 a característica polinomial é \lambda^{2}-\operatorname{tr}(\cdot)\lambda+\det(\cdot). Aqui a traça de A e B é a mesma (\operatorname{tr}=4+4=8), mas como os determinantes diferem, os polinômios característicos são diferentes, outro modo de ver que não são semelhantes.)
Resposta
A e B não são semelhantes, pois \det(A)=18\neq\det(B)=14.