Mostre que A e B não são matrizes semelhantes.
A=\left[\begin{array}{rr}4 & -1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que A e B não são matrizes semelhantes. As informações dadas são as matrizes
A=\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
A pergunta é: provar que não existe matriz invertível P tal que B=P^{-1}AP.]

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “semelhança” e uma propriedade útil que ela preserva. Por definição, A e B são semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que
B = P^{-1} A P.
Uma propriedade importante (e fácil de demonstrar) é que determinante é preservado por similaridade. Vou provar isso passo a passo porque é a chave do problema.
Proposição: se B = P^{-1}AP com P invertível, então
\det(B)=\det(A).
Demonstração: usando propriedades do determinante,
\det(B)=\det(P^{-1}AP)=\det(P^{-1})\det(A)\det(P).
Mas \det(P^{-1})=\dfrac{1}{\det(P)}, logo
\det(P^{-1})\det(P)=\frac{1}{\det(P)}\det(P)=1,
e portanto \det(B)=\det(A). Conclusão: determinantes diferentes implicam que as matrizes não podem ser semelhantes. (Essa é uma ferramenta simples e poderosa — por isso a usamos.)

Passo 3

Agora calculamos o determinante de A. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
o determinante é \det=\;ad-bc. Aplicando em A:
\det(A)=\underbrace{4}_{a}\cdot\underbrace{4}_{d}-\underbrace{(-1)}_{b}\cdot\underbrace{2}_{c}.
Calculemos passo a passo:
4\cdot 4 = 16,
(-1)\cdot 2 = -2,
16 - (-2)=16+2=18.
Portanto
\det(A)=18.

Passo 4

Agora calculamos o determinante de B pelo mesmo procedimento. Para B:
\det(B)=\underbrace{4}_{a}\cdot\underbrace{4}_{d}-\underbrace{1}_{b}\cdot\underbrace{2}_{c}.
Passo a passo:
4\cdot 4 = 16,
1\cdot 2 = 2,
16-2=14.
Logo
\det(B)=14.

Passo 5

Comparando os determinantes obtidos temos \det(A)=18 e \det(B)=14. Pela proposição do Passo 2, se A e B fossem semelhantes deveríamos ter \det(A)=\det(B). Como esses valores são diferentes, concluímos que não existe matriz invertível P com B=P^{-1}AP. Portanto A e B não são semelhantes.
(Comentário extra breve para fixar: em matrizes 2\times2 a característica polinomial é \lambda^{2}-\operatorname{tr}(\cdot)\lambda+\det(\cdot). Aqui a traça de A e B é a mesma ( \operatorname{tr}=4+4=8), mas como os determinantes diferem, os polinômios característicos são diferentes, outro modo de ver que não são semelhantes.)

Resposta

A e B não são semelhantes, pois \det(A)=18\neq\det(B)=14.

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