Use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável.
\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o exercício pede: determinar se a matriz é diagonalizável.
Matriz dada:
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}
Informações relevantes do enunciado: a matriz A é 2\times2 e temos que decidir se existe uma matriz invertível P tal que P^{-1}AP seja diagonal.]

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados passo a passo, bem devagar):
  • Uma matriz n\times n é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) formada por vetores próprios de A. Isso equivale a existir uma matriz invertível P com P^{-1}AP diagonal.
  • Para decidir isso na prática usamos multiplicidades:
    • A multiplicidade algébrica de um autovalor \lambda é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico \det(A-\lambda I).
    • A multiplicidade geométrica de \lambda é a dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I) (ou seja, o número de vetores próprios linearmente independentes associados a \lambda).
  • Critério prático: A é diagonalizável se, para todo autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica de \lambda é igual à sua multiplicidade algébrica; no caso n=2 precisamos de dois vetores próprios linearmente independentes no total.

Passo 3

Calcular o polinômio característico e os autovalores:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\[4pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix}
Calculemos o determinante:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(2-\lambda)-0\cdot 1=(2-\lambda)^2.
Logo o único autovalor é \lambda=2 com multiplicidade algébrica igual a 2.]

Passo 4

Encontrar o espaço próprio associado a \lambda=2\): Formamos \(A-2I\): \[A-2I=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Resolvemos (A-2I)v=0. Escrevendo v=(x,y)^\top obtemos o sistema
\begin{cases} 0\cdot x+0\cdot y=0,\\[4pt] 1\cdot x+0\cdot y=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=0\]. A primeira equação não impõe restrição. Portanto \(y é livre; escrevemos y=t, t\in\mathbb{R}. Assim os vetores próprios são
v=t\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O espaço próprio é gerado por \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} e sua dimensão (multiplicidade geométrica) é 1.]

Passo 5

Comparação das multiplicidades e conclusão lógica:
  • Multiplicidade algébrica de \lambda=2 é 2.
  • Multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1.
    Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, não existem duas direções linearmente independentes de vetores próprios. Para diagonalizar uma matriz 2\times2 com autovalor único nós precisaríamos de dois vetores próprios independentes; aqui isso não acontece. Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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