1. Determine a dimensão da soma de subespaços.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a dimensão da soma de subespaços.”
Informações / hipóteses que vou assumir (padrão em exercícios assim): suponha que U e W são subespaços de um espaço vetorial de dimensão finita V. A pergunta específica é: qual é a dimensão de U+W, onde
U+W=\{u+w \mid u\in U,\;w\in W\}.

Passo 2

Antes de começar, vamos revisar definições importantes (bem mastigadas):
  • Um conjunto de vetores é uma base de um subespaço quando é linearmente independente e gera o subespaço.
  • A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base desse subespaço. Se uma base tem k vetores, escrevemos \dim = k.
  • A soma U+W é o menor subespaço que contém tanto U quanto W; intuitivamente, é o conjunto de todas as somas possíveis u+w.
    Vou usar essas noções para construir uma prova e um método prático.

Passo 3

Enunciado do objetivo matemático que vamos provar e usar: existe uma fórmula simples que relaciona \dim(U+W), \dim U, \dim W e \dim(U\cap W). A fórmula é
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
Agora vou demonstrar essa fórmula passo a passo e depois mostrar como usá-la em uma prova/questão.

Passo 4

Prova detalhada da fórmula (construção de bases):
  1. Seja k=\dim(U\cap W). Escolha uma base \mathcal{B}_0 de U\cap W com exatamente k vetores. Isso é possível porque U\cap W é subespaço finito.
  2. Como \mathcal{B}_0\subset U e \mathcal{B}_0\subset W, podemos estender \mathcal{B}_0 a uma base de U e também a uma base de W:
    • Existe uma sequência de vetores u_1,\dots,u_p em U tal que \mathcal{B}_U=\mathcal{B}_0\cup\{u_1,\dots,u_p\}é uma base de U. Logo \dim U=k+p.
    • Existe uma sequência de vetores v_1,\dots,v_q em W tal que \mathcal{B}_W=\mathcal{B}_0\cup\{v_1,\dots,v_q\}é uma base de W. Logo \dim W=k+q.
  3. Considere o conjunto \mathcal{B}=\mathcal{B}_0\cup\{u_1,\dots,u_p\}\cup\{v_1,\dots,v_q\}.Vou mostrar que \mathcal{B} é uma base de U+W.
  4. Primeiro, \mathcal{B} gera U+W: qualquer vetor x\in U+W tem a forma x=u+w com u\in U, w\in W. Escrevendo u em termos da base \mathcal{B}_U e w em termos da base \mathcal{B}_W, vemos que x é combinação linear de vetores de \mathcal{B}. Portanto \mathrm{span}(\mathcal{B})=U+W.
  5. Segundo, \mathcal{B} é linearmente independente. Prova direta:
    • Suponha que exista combinação linear nula \sum_{b\in\mathcal{B}_0}\alpha_b b + \sum_{i=1}^p \beta_i u_i + \sum_{j=1}^q \gamma_j v_j = 0.
    • Reagrupando, temos um vetor da forma (vetor em U) igual a um vetor da forma (vetor em W): \left(\sum_{b\in\mathcal{B}_0}\alpha_b b + \sum_{i=1}^p \beta_i u_i\right) = -\left(\sum_{j=1}^q \gamma_j v_j\right).O lado esquerdo pertence a U e o direito a W, então o vetor comum está em U\cap W. Portanto esse vetor é combinação linear apenas de vetores de \mathcal{B}_0. Subtraindo as representações, obtém-se que \sum_{i=1}^p \beta_i u_ié uma combinação linear de \mathcal{B}_0. Mas os u_i foram escolhidos de modo que \mathcal{B}_U=\mathcal{B}_0\cup\{u_i\} é base de U, logo u_1,\dots,u_p são linearmente independentes módulo \mathcal{B}_0. Assim todos os coeficientes \beta_i devem ser zero. Analogamente os \gamma_j são zero. Com isso resta \sum_{b\in\mathcal{B}_0}\alpha_b b = 0,e como \mathcal{B}_0 é base, todos \alpha_b=0. Logo todos os coeficientes são zero e \mathcal{B} é linearmente independente.
  6. Como \mathcal{B} gera U+W e é linearmente independente, é uma base de U+W. Portanto \dim(U+W)=|\mathcal{B}|=k+p+q.
  7. Usando \dim U=k+p e \dim W=k+q obtemos \dim(U+W)=(k+p+q)=(k+p)+(k+q)-k=\dim U+\dim W - k.Como k=\dim(U\cap W), a fórmula fica \boxed{\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).}

Passo 5

Observações úteis e caso particular:
  • Se U\cap W=\{0\} então \dim(U\cap W)=0 e a fórmula dá \dim(U+W)=\dim U+\dim W.Nesse caso diz-se que a soma é direta e escreve-se U\oplus W.
  • A fórmula é exatamente a versão linear da ideia de “princípio da inclusão-exclusão”: soma das dimensões menos a interseção que foi contada duas vezes.

Passo 6

Como aplicar isso numa prova/exame (receita prática):
  1. Determine \dim U e \dim W. Normalmente isso vem de bases dadas ou de geradores lineares independentes.
  2. Calcule \dim(U\cap W). Duas maneiras práticas:
    • Resolver um sistema linear que expressa um vetor comum: encontre coeficientes para representar um vetor tanto como combinação de uma base de U quanto de uma base de W; o espaço das soluções tem dimensão \dim(U\cap W).
    • Ou montar a matriz cujas colunas são as bases de U e de W: então \dim(U+W) é o posto (rank) dessa matriz. Depois use a fórmula para obter \dim(U\cap W)=\dim U+\dim W-\mathrm{rank}(\text{matriz concatenada}).
  3. Aplique a fórmula e pronto.

Passo 7

Exemplo concreto 1 (muito simples, passo a passo):
  • Trabalho em \mathbb{R}^3. Seja U=\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\},\qquad W=\mathrm{span}\{(1,1,0)\}.
  • Aqui \dim U=2 e \dim W=1.
  • Para achar U\cap W, escrevo um vetor genérico de W: t(1,1,0). Quero que exista a,b tais que t(1,1,0)=a(1,0,0)+b(0,1,0)=(a,b,0).Comparando coordenadas: t=a e t=b. Logo a=b=t. Isso mostra que todo t(1,1,0) é também combinação de base de U exatamente quando os dois componentes são iguais — o que é verdade. Portanto U\cap W=\mathrm{span}\{(1,1,0)\} tem dimensão 1.
  • Aplicando a fórmula: \dim(U+W)=2+1-1=2.Intuição: U+W é apenas o plano gerado por (1,0,0) e (0,1,0), já estava fechado.

Passo 8

Exemplo concreto 2 (usando matriz/posto):
  • Seja U=\mathrm{span}\{u_1,u_2\} e W=\mathrm{span}\{v_1,v_2\}. Coloque as colunas u_1,u_2,v_1,v_2 numa matriz A.
  • Calcule \mathrm{rank}(A) (por eliminação de Gauss). Então \dim(U+W)=\mathrm{rank}(A). Finalmente \dim(U\cap W)=\dim U+\dim W-\mathrm{rank}(A).
  • Exemplo rápido: em \mathbb{R}^3, se o posto da matriz concatenada for 3, então \dim(U+W)=3 (ou seja, ocupam todo \mathbb{R}^3).

Passo 9

Resumo prático (como responder rápido na prova):
  • Lembre a fórmula \dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
  • Para calcular \dim(U\cap W): ou resolva sistemas para expressar vetores comuns, ou calcule o posto da matriz formada pelas bases e use a fórmula inversa.
  • Se a interseção for só \{0\}, some as dimensões; caso contrário subtraia a dimensão da interseção.

Resposta

\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)

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