- Determine a dimensão da soma de subespaços.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a dimensão da soma de subespaços.”
Informações / hipóteses que vou assumir (padrão em exercícios assim): suponha que e
são subespaços de um espaço vetorial de dimensão finita
. A pergunta específica é: qual é a dimensão de
, onde
Informações / hipóteses que vou assumir (padrão em exercícios assim): suponha que
Passo 2
Antes de começar, vamos revisar definições importantes (bem mastigadas):
- Um conjunto de vetores é uma base de um subespaço quando é linearmente independente e gera o subespaço.
- A dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base desse subespaço. Se uma base tem
vetores, escrevemos . - A soma
é o menor subespaço que contém tanto quanto ; intuitivamente, é o conjunto de todas as somas possíveis .
Vou usar essas noções para construir uma prova e um método prático.
Passo 3
Enunciado do objetivo matemático que vamos provar e usar: existe uma fórmula simples que relaciona
,
,
e
. A fórmula é
Agora vou demonstrar essa fórmula passo a passo e depois mostrar como usá-la em uma prova/questão.
Passo 4
Prova detalhada da fórmula (construção de bases):
- Seja
. Escolha uma base de com exatamente vetores. Isso é possível porque é subespaço finito. - Como
e , podemos estender a uma base de e também a uma base de : - Existe uma sequência de vetores
em tal que é uma base de . Logo . - Existe uma sequência de vetores
em tal que é uma base de . Logo .
- Existe uma sequência de vetores
- Considere o conjunto
Vou mostrar que é uma base de . - Primeiro,
gera : qualquer vetor tem a forma com , . Escrevendo em termos da base e em termos da base , vemos que é combinação linear de vetores de . Portanto . - Segundo,
é linearmente independente. Prova direta: - Suponha que exista combinação linear nula
- Reagrupando, temos um vetor da forma (vetor em
) igual a um vetor da forma (vetor em ): O lado esquerdo pertence a e o direito a , então o vetor comum está em . Portanto esse vetor é combinação linear apenas de vetores de . Subtraindo as representações, obtém-se que é uma combinação linear de . Mas os foram escolhidos de modo que é base de , logo são linearmente independentes módulo . Assim todos os coeficientes devem ser zero. Analogamente os são zero. Com isso resta e como é base, todos . Logo todos os coeficientes são zero e é linearmente independente.
- Suponha que exista combinação linear nula
- Como
gera e é linearmente independente, é uma base de . Portanto - Usando
e obtemos Como , a fórmula fica
Passo 5
Observações úteis e caso particular:
- Se
então e a fórmula dá Nesse caso diz-se que a soma é direta e escreve-se . - A fórmula é exatamente a versão linear da ideia de “princípio da inclusão-exclusão”: soma das dimensões menos a interseção que foi contada duas vezes.
Passo 6
Como aplicar isso numa prova/exame (receita prática):
- Determine
e . Normalmente isso vem de bases dadas ou de geradores lineares independentes. - Calcule
. Duas maneiras práticas: - Resolver um sistema linear que expressa um vetor comum: encontre coeficientes para representar um vetor tanto como combinação de uma base de
quanto de uma base de ; o espaço das soluções tem dimensão . - Ou montar a matriz cujas colunas são as bases de
e de : então é o posto (rank) dessa matriz. Depois use a fórmula para obter .
- Resolver um sistema linear que expressa um vetor comum: encontre coeficientes para representar um vetor tanto como combinação de uma base de
- Aplique a fórmula e pronto.
Passo 7
Exemplo concreto 1 (muito simples, passo a passo):
- Trabalho em
. Seja - Aqui
e . - Para achar
, escrevo um vetor genérico de : . Quero que exista tais que Comparando coordenadas: e . Logo . Isso mostra que todo é também combinação de base de exatamente quando os dois componentes são iguais — o que é verdade. Portanto tem dimensão . - Aplicando a fórmula:
Intuição: é apenas o plano gerado por e , já estava fechado.
Passo 8
Exemplo concreto 2 (usando matriz/posto):
- Seja
e . Coloque as colunas numa matriz . - Calcule
(por eliminação de Gauss). Então . Finalmente . - Exemplo rápido: em
, se o posto da matriz concatenada for , então (ou seja, ocupam todo ).
Passo 9
Resumo prático (como responder rápido na prova):
- Lembre a fórmula
- Para calcular
: ou resolva sistemas para expressar vetores comuns, ou calcule o posto da matriz formada pelas bases e use a fórmula inversa. - Se a interseção for só
, some as dimensões; caso contrário subtraia a dimensão da interseção.