1. Determine uma equação vetorial para o subespaço gerado.

Passo 1

O enunciado diz apenas: “Determine uma equação vetorial para o subespaço gerado.”
Informações dadas:
  • Não foram fornecidos os vetores que geram o subespaço (nenhum v_1,v_2,\dots ou matriz foi informado).
O que o exercício pede:
  • Encontrar “uma equação vetorial” para o subespaço gerado — isto é ambíguo sem os vetores, porque é preciso saber quais vetores geram o subespaço para escrever a equação. Portanto, com os dados atuais não é possível obter uma resposta numérica específica.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos entender direitinho o que significa “subespaço gerado” e o que normalmente se pede por “equação vetorial”.
Definição (moleza): se um conjunto de vetores \{v_1,v_2,\dots,v_k\} está em \mathbb{R}^n, o subespaço gerado por esses vetores é o conjunto de todas as combinações lineares deles. Em notação:
\text{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\left\{\,x\in\mathbb{R}^n \mid x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k,\; c_i\in\mathbb{R}\right\}.
Isto é justamente a “equação vetorial” mais direta: escrever x como combinação linear com parâmetros c_i.

Passo 3

O que costuma ser pedido em provas por “equação vetorial para o subespaço gerado” é a forma paramétrica acima — ou seja, dar x em função de parâmetros. Vamos explicar passo a passo como se faz isso quando os vetores geradores são conhecidos.
Se os vetores geradores são v_1,v_2,\dots,v_k em \mathbb{R}^n, a equação vetorial paramétrica é simplesmente
x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k,\qquad c_1,c_2,\dots,c_k\in\mathbb{R}.
Aqui:
  • x é um vetor genérico do subespaço (o que queremos descrever);
  • c_1,\dots,c_k são parâmetros livres (reais);
  • cada v_i é um vetor conhecido em \mathbb{R}^n.
No exame, se os v_i forem dados em coordenadas (por exemplo v_1=(1,2,0), v_2=(0,1,1)), substitui-se e se obtém uma expressão componente a componente para x. Isso é rápido e direto.

Passo 4

Como escrever isso na prática (passo a passo que dá para usar na prova):
  1. Escreva os vetores geradores v_1,\dots,v_k em coordenadas.
  2. Introduza parâmetros c_1,\dots,c_k.
  3. Escreva
x = c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k.
  1. Se quiser, expanda por coordenadas: se v_i=(v_{1i},v_{2i},\dots,v_{ni}), então
x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\\vdots\x_n\end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix}v_{11}\v_{21}\\vdots\v_{n1}\end{pmatrix} +\cdots+ c_k\begin{pmatrix}v_{1k}\v_{2k}\\vdots\v_{nk}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^k c_i v_{1i}\\[4pt] \sum_{i=1}^k c_i v_{2i}\\[4pt] \vdots\\[4pt] \sum_{i=1}^k c_i v_{ni} \end{pmatrix}.
Isso é exatamente a equação vetorial em forma de componente.]

Passo 5

Alternativa: às vezes a prova pede a descrição implícita (equações lineares que os vetores do subespaço satisfazem), em vez da forma paramétrica. Vou ensinar como obter essa forma também — é bom saber as duas.
Método para a forma implícita B x = 0:
  1. Monte a matriz V cujas colunas são os vetores geradores v_1,\dots,v_k. Assim V é n\times k.
  2. Um vetor linha b^T (ou coluna b) dá uma equação b^T x = 0 válida para todo x em \text{span}\{v_i\} se e só se b^T v_i = 0 para todo i. Em termos matriciais isso é
V^T b = 0.
  1. Então encontre uma base para o núcleo (nullspace) de V^T. Vetores b nessa base são as linhas que geram as equações lineares do subespaço. Colocando essas b como linhas de uma matriz B obtemos
B x = 0,
que é a descrição implícita do subespaço.

Passo 6

Um exemplo concreto (para fixar o procedimento — faz mesmo na prova porque é prático):
Suponha que os vetores geradores sejam [;v_1=(1,2,0),;v_2=(0,1,1)\in\mathbb{R}^3.)
  • Equação vetorial paramétrica:
x = s v_1 + t v_2,\qquad s,t\in\mathbb{R},
ou explicitando componentes,
x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s\\[4pt] 2s+t\\[4pt] t \end{pmatrix}.
Pronto — essa é a equação vetorial do subespaço gerado por v_1,v_2.
  • Forma implícita: monte V=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]2&1\\[2pt]0&1\end{pmatrix}. Procure b\in\mathbb{R}^3 com V^T b=0. Isso dá o sistema
\begin{cases} 1\cdot b_1 + 2\cdot b_2 + 0\cdot b_3 = 0,\\[4pt] 0\cdot b_1 + 1\cdot b_2 + 1\cdot b_3 = 0, \end{cases}
resolvendo dá b=(2,-1,1)^T\] (até escala). Logo a equação implícita do subespaço é \[(2,-1,1)\cdot x = 0,\] ou seja \[2x_1 - x_2 + x_3 = 0.\] Verificação rápida: substituindo a forma paramétrica \(\begin{pmatrix}s\\\ 2s+t\t\end{pmatrix} na equação implícita produz 2s-(2s+t)+t=0, certo.]

Passo 7

Resumo-prático (checklist para a prova, sem drama):
  • Se pedirem “equação vetorial”, em 90% dos casos querem a forma paramétrica: escreva x=\sum c_i v_i.
  • Se pedirem “equações” ou “equação implícita”, forme V com as colunas v_i e resolva V^T b=0 para achar as linhas b^T que dão B x=0.
  • Use eliminação de Gauss para achar coeficientes/parametrizações rapidamente sem calculadora (mantenha frações simples).

Passo 8

Conclusão específica para este enunciado: como os vetores geradores não foram fornecidos, não há como apresentar uma equação vetorial numérica concreta. Porém o procedimento que deve ser aplicado é o explicado acima.

Resposta

Não é possível determinar numericamente: faltam os vetores geradores. Em geral, se o subespaço é gerado por \{v_1,\dots,v_k\}, sua equação vetorial é
x = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k,\qquad c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}.

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