Determine uma equação vetorial para o subespaço gerado.
Passo 1
O enunciado diz apenas: “Determine uma equação vetorial para o subespaço gerado.”
Informações dadas:
Não foram fornecidos os vetores que geram o subespaço (nenhum v_1,v_2,\dots ou matriz foi informado).
O que o exercício pede:
Encontrar “uma equação vetorial” para o subespaço gerado — isto é ambíguo sem os vetores, porque é preciso saber quais vetores geram o subespaço para escrever a equação. Portanto, com os dados atuais não é possível obter uma resposta numérica específica.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos entender direitinho o que significa “subespaço gerado” e o que normalmente se pede por “equação vetorial”.
Definição (moleza): se um conjunto de vetores \{v_1,v_2,\dots,v_k\} está em \mathbb{R}^n, o subespaço gerado por esses vetores é o conjunto de todas as combinações lineares deles. Em notação:
Isto é justamente a “equação vetorial” mais direta: escrever x como combinação linear com parâmetros c_i.
Passo 3
O que costuma ser pedido em provas por “equação vetorial para o subespaço gerado” é a forma paramétrica acima — ou seja, dar x em função de parâmetros. Vamos explicar passo a passo como se faz isso quando os vetores geradores são conhecidos.
Se os vetores geradores são v_1,v_2,\dots,v_k em \mathbb{R}^n, a equação vetorial paramétrica é simplesmente
x é um vetor genérico do subespaço (o que queremos descrever);
c_1,\dots,c_k são parâmetros livres (reais);
cada v_i é um vetor conhecido em \mathbb{R}^n.
No exame, se os v_i forem dados em coordenadas (por exemplo v_1=(1,2,0), v_2=(0,1,1)), substitui-se e se obtém uma expressão componente a componente para x. Isso é rápido e direto.
Passo 4
Como escrever isso na prática (passo a passo que dá para usar na prova):
Escreva os vetores geradores v_1,\dots,v_k em coordenadas.
Introduza parâmetros c_1,\dots,c_k.
Escreva
x = c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k.
Se quiser, expanda por coordenadas: se v_i=(v_{1i},v_{2i},\dots,v_{ni}), então
Isso é exatamente a equação vetorial em forma de componente.]
Passo 5
Alternativa: às vezes a prova pede a descrição implícita (equações lineares que os vetores do subespaço satisfazem), em vez da forma paramétrica. Vou ensinar como obter essa forma também — é bom saber as duas.
Método para a forma implícita B x = 0:
Monte a matriz V cujas colunas são os vetores geradores v_1,\dots,v_k. Assim V é n\times k.
Um vetor linha b^T (ou coluna b) dá uma equação b^T x = 0 válida para todo x em \text{span}\{v_i\} se e só se b^T v_i = 0 para todo i. Em termos matriciais isso é
V^T b = 0.
Então encontre uma base para o núcleo (nullspace) de V^T. Vetores b nessa base são as linhas que geram as equações lineares do subespaço. Colocando essas b como linhas de uma matriz B obtemos
B x = 0,
que é a descrição implícita do subespaço.
Passo 6
Um exemplo concreto (para fixar o procedimento — faz mesmo na prova porque é prático):
Suponha que os vetores geradores sejam [;v_1=(1,2,0),;v_2=(0,1,1)\in\mathbb{R}^3.)
resolvendo dá b=(2,-1,1)^T\] (até escala). Logo a equação implícita do subespaço é
\[(2,-1,1)\cdot x = 0,\]
ou seja
\[2x_1 - x_2 + x_3 = 0.\]
Verificação rápida: substituindo a forma paramétrica \(\begin{pmatrix}s\\\ 2s+t\t\end{pmatrix} na equação implícita produz 2s-(2s+t)+t=0, certo.]
Passo 7
Resumo-prático (checklist para a prova, sem drama):
Se pedirem “equação vetorial”, em 90% dos casos querem a forma paramétrica: escreva x=\sum c_i v_i.
Se pedirem “equações” ou “equação implícita”, forme V com as colunas v_i e resolva V^T b=0 para achar as linhas b^T que dão B x=0.
Use eliminação de Gauss para achar coeficientes/parametrizações rapidamente sem calculadora (mantenha frações simples).
Passo 8
Conclusão específica para este enunciado: como os vetores geradores não foram fornecidos, não há como apresentar uma equação vetorial numérica concreta. Porém o procedimento que deve ser aplicado é o explicado acima.
Resposta
Não é possível determinar numericamente: faltam os vetores geradores. Em geral, se o subespaço é gerado por \{v_1,\dots,v_k\}, sua equação vetorial é