Seja
. Considere a região infinita
limitada pelos eixos coordenados
,
e pelo gráfico da função
(a) Se
denota a área de
, mostre que
.
(b) Seja
denota a região limitada pelos eixos coordenados
, o gráfico de
e o gráfico da função
. Se
denota a área de
, mostre que
(c) Determine o valor de
para o qual
atinge seu valor máximo. Justifique sua resposta. Resposta:
.
(b) Seja
Passo 1
O enunciado trata de duas regiões no primeiro quadrante definidas pelas curvas
com
. Na parte (a) queremos a área
limitada pelos eixos e pelo gráfico de
: será
.
Na parte (b) a região é limitada também por
, e sua área é
“área sob
até a interseção com
”
mais “área sob depois dessa interseção”.
Na parte (c) precisamos achar o que maximiza
.
Os principais conteúdos são: completar quadrado para integrar , achar o ponto de interseção
, calcular duas integrais impróprias e usar derivada de
para máximo.
Na parte (b) a região
mais “área sob
Na parte (c) precisamos achar o
Os principais conteúdos são: completar quadrado para integrar
Passo 2
(a) Cálculo de
Observe que
logo com
temos
Como
, segue
Passo 3
(b) Primeiro achamos
tal que
.
A área
divide-se em
mais
.
Note que
e
.
Também .
Logo
Também
Logo
-
Somando, chega-se a
Passo 4
(c) Para achar o máximo de
em
, calcule
Zerando:
Nos extremos e
quando
, de modo que o único crítico interior
é de fato máximo.
Nos extremos