Seja
, onde
.
(a) Calcule
.
(b) Mostre que
é constante em
e determine o valor dessa constante.
(a) Calcule
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define
para
e pede:
- Calcular
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. - Mostrar que
é constante e determinar seu valor, usando, por exemplo, e cálculo de integral por partes.
Passo 2
Derivando a primeira integral, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia, obtemos
Como em
temos
e
, e ainda
,
segue
segue
Passo 3
Analogamente para a segunda integral,
com
e
em
, e
. Logo,
Passo 4
Somando as duas derivadas:
Portanto
em
e
é constante nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar o valor dessa constante, calculemos
. Em
temos
,
, então
Fazemos a substituição
, logo
,
. Assim
Passo 6
Calculemos
Por partes, com
,
, resulta
Fazendo
,
,
, obtém-se
Portanto
, e como
é constante,