Seja F(x)=\int_{0}^{\operatorname{sen}^{2}(x)} \arcsin \sqrt{t} d t+\int_{0}^{\cos ^{2}(x)} \operatorname{arccos} \sqrt{t} d t=\frac{\pi}{4}, onde x \in[0, \pi / 2].
(a) Calcule F^{\prime}(x).
(b) Mostre que F(x) é constante em [0, \pi / 2] e determine o valor dessa constante.

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{0}^{\sin^{2}(x)}\arcsin\bigl(\sqrt{t}\bigr)\,dt\;+\;\int_{0}^{\cos^{2}(x)}\operatorname{arccos}\bigl(\sqrt{t}\bigr)\,dt
para x\in[0,\tfrac\pi2] e pede:
  1. Calcular F'(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
  2. Mostrar que F(x) é constante e determinar seu valor, usando, por exemplo, x=0 e cálculo de integral por partes.

Passo 2

Derivando a primeira integral, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia, obtemos
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\!\int_{0}^{\sin^{2}(x)}\arcsin(\sqrt{t})\,dt\Bigr] =\arcsin\bigl(\sqrt{\sin^{2}(x)}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sin^{2}(x)\bigr).
Como em [0,\tfrac\pi2] temos \sqrt{\sin^{2}(x)}=\sin(x) e \arcsin(\sin x)=x, e ainda \tfrac{d}{dx}(\sin^{2}x)=2\sin x\cos x,
segue
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\!\int_{0}^{\sin^{2}(x)}\arcsin(\sqrt{t})\,dt\Bigr] = x\cdot2\sin x\cos x.

Passo 3

Analogamente para a segunda integral,
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\!\int_{0}^{\cos^{2}(x)}\operatorname{arccos}(\sqrt{t})\,dt\Bigr] =\operatorname{arccos}\bigl(\sqrt{\cos^{2}(x)}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(\cos^{2}x)
com \sqrt{\cos^{2}x}=\cos x e \operatorname{arccos}(\cos x)=x em [0,\tfrac\pi2], e \tfrac{d}{dx}(\cos^{2}x)=-2\sin x\cos x. Logo,
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\!\int_{0}^{\cos^{2}(x)}\operatorname{arccos}(\sqrt{t})\,dt\Bigr] = x\cdot(-2\sin x\cos x).

Passo 4

Somando as duas derivadas:
F'(x)=2x\sin x\cos x - 2x\sin x\cos x = 0.
Portanto F'(x)=0 em [0,\tfrac\pi2] e F é constante nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar o valor dessa constante, calculemos F(0). Em x=0 temos \sin^{2}(0)=0, \cos^{2}(0)=1, então
F(0) =\int_{0}^{0}\arcsin(\sqrt{t})\,dt +\int_{0}^{1}\operatorname{arccos}(\sqrt{t})\,dt =\int_{0}^{1}\operatorname{arccos}(\sqrt{t})\,dt.
Fazemos a substituição u=\sqrt{t}, logo t=u^{2}, dt=2u\,du. Assim
F(0) =\int_{u=0}^{1}\operatorname{arccos}(u)\,2u\,du.

Passo 6

Calculemos
I=\int_{0}^{1}2u\operatorname{arccos}(u)\,du.
Por partes, com A=\operatorname{arccos}(u), dv=2u\,du, resulta
I=\bigl[u^{2}\operatorname{arccos}(u)\bigr]_{0}^{1} -\int_{0}^{1}u^{2}\,\bigl(-\tfrac1{\sqrt{1-u^{2}}}\bigr)\,du =\int_{0}^{1}\frac{u^{2}}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Fazendo u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta, \theta\in[0,\tfrac\pi2], obtém-se
I=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta =\frac12\Bigl[\theta-\sin\theta\cos\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{\pi/4}{\!}\,.
Portanto F(0)=\pi/4, e como F é constante,
F(x)=\frac{\pi}{4} \quad\forall x\in[0,\tfrac\pi2].

Resposta

F'(x)=0 e F(x)=\dfrac{\pi}{4} (constante em [0,\tfrac\pi2]).

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