Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{6} x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{6}x\,dx.
O conteúdo é redução de potências de senos, usando a identidade de ângulo duplo e expressando tudo em cossenos de múltiplos de x.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1 - \cos(2x)}{2},
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\operatorname{sen}^{6}x = \bigl(\operatorname{sen}^{2}x\bigr)^{3} = \Bigl(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\Bigr)^{3} = \frac{1}{8}\bigl(1 - 3\cos(2x) + 3\cos^{2}(2x) - \cos^{3}(2x)\bigr).

Passo 3

Agora escrevemos \cos^{2}(2x) e \cos^{3}(2x) em termos de cossenos de múltiplos de x:
\cos^{2}(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}, \qquad \cos^{3}(2x) = \frac{3\cos(2x) + \cos(6x)}{4}.
Substituindo em \operatorname{sen}^{6}x e simplificando, chega-se a
\operatorname{sen}^{6}x = \frac{5}{16} - \frac{15}{32}\cos(2x) + \frac{3}{16}\cos(4x) - \frac{1}{32}\cos(6x).
Ou, de forma condensada,
\operatorname{sen}^{6}x = \frac{1}{32}\bigl(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)\bigr).

Passo 4

Integramos termo a termo em [0,\pi]:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{6}x\,dx = \int_{0}^{\pi}\frac{5}{16}\,dx - \frac{15}{32}\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx + \frac{3}{16}\int_{0}^{\pi}\cos(4x)\,dx - \frac{1}{32}\int_{0}^{\pi}\cos(6x)\,dx.
Como
\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx = \Bigl[\frac{\sin(kx)}{k}\Bigr]_{0}^{\pi} = 0 \quad(\text{para }k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}),
sobra apenas o termo constante:

Resposta

\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{6}x\,dx = \frac{5}{16}\,\pi.

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