Seja Lf(t)=F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
f) r(t)=(t-2) e^2-t U(t-2).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de r(t) = (t-2)e^2-t,U(t-2). O conteúdo principal é a propriedade de deslocamento no tempo para a transformada de Laplace.

Passo 2

Repare que e^2-t = e^-(t-2). Então a gente pode escrever:
$$
r(t) = (t-2)e^{-(t-2)},\mathcal{U}(t-2)$$
Dessa forma fica claro que o sinal é da forma r(t) = (t-2)e^-(t-2),U(t-2) com g(t-2),U(t-2).

Passo 3

Pela propriedade de deslocamento no tempo, temos
Lg(t-2),U(t-2) = e^-2s,G(s)
onde
G(s) = Lu e^-u = integral0^infty u e^-u e^-s u ,du = integral0^infty u e^-(s+1)u ,du

Passo 4

O integral
integral0^infty u e^-(s+1)u ,du
é uma fórmula padrão e vale
1(s+1)^2
Portanto
Lr(t) = e^-2s1(s+1)^2

Resposta

e^-2s(s+1)^2

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