Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
d)
;
d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ p(t) = (t - 1) \mathcal{U}(t - 2) $. Aqui, estamos trabalhando com a Transformada de Laplace, uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver, vamos utilizar propriedades da transformada, especialmente a propriedade do deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ p(t) = (t - 1) \mathcal{U}(t - 2) $. A função $ \mathcal{U}(t - 2) $ é a função degrau de Heaviside, que é igual a 0 para $ t < 2 $ e igual a 1 para $ t \geq 2 $. Assim, $ p(t) $ é igual a zero antes de $ t = 2 $ e igual a $ t - 1 $ a partir de $ t = 2 $.
Passo 3
Para encontrar a transformada de Laplace de $ p(t) $, vamos usar a propriedade do deslocamento no tempo, que diz:
onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $.
Passo 4
Vamos reescrever $ p(t) $ de forma a aplicar a propriedade acima:
Isso significa que podemos separar $ p(t) $ em duas partes: $ (t - 2) \mathcal{U}(t - 2) $ e $ \mathcal{U}(t - 2) $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada parte separadamente.
-
Para $ (t - 2) \mathcal{U}(t - 2) $:Aqui, $ f(t) = t $ e $ a = 2 $. Sabemos que $ \mathcal{L}{t} = \frac{1}{s^2} $. Aplicando a propriedade do deslocamento:
-
Para $ \mathcal{U}(t - 2) $:A transformada de Laplace da função degrau é:
Passo 6
Finalmente, somamos as transformadas das duas partes para obter a transformada total de $ p(t) $:
Resposta
A transformada de Laplace de $ p(t) $ é: