Seja f(x)=1-x2+x. Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da f

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)= 1-x2+x. Vamos obter a derivada de f e usar a fórmula geral da reta tangente em um ponto x=a:

Passo 2

Para achar a derivada f'(x) usamos a regra do quociente. Se f(x)=u(x)v(x) com u(x)=1-x e v(x)=2+x, então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2
Aqui u'(x)=-1 e v'(x)=1, então
f'(x)=(-1)(2+x)-(1-x)(1)(2+x)^2= -2 - x - 1 + x(2+x)^2= -3(2+x)^2

Passo 3

Agora avaliamos em um ponto genérico x=a. Tem-se
f'(a)=-3(2+a)^2
e o ponto do gráfico é l(a,f(a)r) com
f(a)=1-a2+a

Passo 4

Finalmente, a equação da reta tangente em x=a segue a forma
y - f(a)=f'(a),(x-a)
Substituindo f(a) e f'(a) obtemos
y - 1-a2+a = -3(2+a)^2,(x - a)

Resposta

A reta tangente em x=a é
y - 1-a2+a = -3(2+a)^2,(x - a)

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