Seja Lf(t)=F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
(a) f(t)=t^n e^a t;
(b) g(t)=e^a t cos b t;
© h(t)=t e^a t sin b t;
(d) p(t)=(t-1) U(t-2);
(e) q(t)=sin t U(t-pi2);
(f) r(t)=(t-2) e^2-t U(t-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito usada para resolver equações diferenciais e analisar sistemas no domínio da engenharia e da matemática. No enunciado, precisamos encontrar a transformada de Laplace de várias funções usando as propriedades que estudamos. Para isso, vamos precisar conhecer algumas fórmulas básicas da Transformada de Laplace e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Parte (a): $ f(t) = t^{n} e^{a t} $
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de $ t^{n} e^{a t} $ é conhecida e tem uma fórmula específica. A fórmula geral para a transformada de $ t^{n} e^{a t} $ é:
f(t) = t^n e^a t
Aqui, $ n! $ representa o fatorial de $ n $, $ s $ é a variável da transformada de Laplace, e $ a $ é a constante presente no expoente.

Passo 3

Parte (b): $ g(t) = e^{a t} \cos b t $
Para transformar $ e^{a t} \cos b t $, usamos a fórmula da transformada de Laplace para funções do tipo $ e^{a t} \cos b t $:
g(t) = e^a t cos b t
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes, e a transformada resulta em uma fração onde o denominador é a soma dos quadrados de $ (s - a) $ e $ b $.

Passo 4

Parte ©: $ h(t) = t e^{a t} \sin b t $
Para transformar $ t e^{a t} \sin b t $, usamos a fórmula da transformada de Laplace que envolve $ t $ multiplicando uma função trigonométrica com um expoente:
h(t) = t e^a t sin b t
Essa fórmula leva em conta o termo $ t $ multiplicando a função seno, resultando em uma expressão mais complexa no denominador.

Passo 5

Parte (d): $ p(t) = (t - 1) \mathcal{U}(t - 2) $
Aqui, $ \mathcal{U}(t - 2) $ é a função degrau de Heaviside que “liga” a função a partir de $ t = 2 $. Para transformar $ (t - 1) \mathcal{U}(t - 2) $, usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
p(t) = (t - 1) U(t - 2)
Onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(t) $. Neste caso, $ f(t) = t - 1 $ e $ c = 2 $:
Primeiro, encontramos $ F(s) $ para $ f(t) = t - 1 $:
U(t - 2)
t = 2
Então, aplicando o deslocamento:
(t - 1) U(t - 2)

Passo 6

Parte (e): $ q(t) = \sin t , \mathcal{U}\left(t - \frac{\pi}{2}\right) $
Novamente, temos uma função multiplicada pela função degrau de Heaviside, que ativa a função a partir de $ t = \frac{\pi}{2} $. Usamos a propriedade de deslocamento:
q(t) = sin t , U(t - pi2)
Aqui, $ f(t) = \sin t $ e $ c = \frac{\pi}{2} $. Primeiro, encontramos $ F(s) $:
t = pi2
L f(t - c) U(t - c) = e^-c s F(s)
Então, aplicando o deslocamento:
f(t) = sin t

Passo 7

Parte (f): $ r(t) = (t - 2) e^{2 - t} \mathcal{U}(t - 2) $
Aqui temos uma função mais complexa: $ (t - 2) e^{2 - t} $ multiplicada pela função degrau de Heaviside $ \mathcal{U}(t - 2) $. Primeiro, vamos simplificar a expressão:
r(t) = (t - 2) e^2 - t U(t - 2)
(t - 2) e^2 - t
Agora, aplicamos a propriedade de deslocamento com $ c = 2 $ e $ f(t) = (t - 2) e^{-t} $:
U(t - 2)
Primeiro, encontramos $ \mathcal{L}{ t e^{-t} } $:
(t - 2) e^2 - t = (t - 2) e^2 e^-t
Então, incluindo a constante $ e^{2} $:
= e^2 (t - 2) e^-t

Resposta

As transformadas de Laplace das funções dadas são:
a) L t^n e^a t = dfracn!(s - a)^n+1
b) L e^a t cos b t = dfracs - a(s - a)^2 + b^2
c) L t e^a t sin b t = dfrac2 b (s - a)[(s - a)^2 + b^2]^2
d) L (t - 1) U(t - 2) = e^-2 s ( dfrac1 - ss^2 )
e) L sin t , U(t - dfracpi2) = e^-pi2 s ( dfrac1s^2 + 1 )
f) L (t - 2) e^2 - t U(t - 2) = dfrace^2 - 2 s(s + 1)^2

Exercícios relacionados