Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
;
(e)
;
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito usada para resolver equações diferenciais e analisar sistemas no domínio da engenharia e da matemática. No enunciado, precisamos encontrar a transformada de Laplace de várias funções usando as propriedades que estudamos. Para isso, vamos precisar conhecer algumas fórmulas básicas da Transformada de Laplace e como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Parte (a): $ f(t) = t^{n} e^{a t} $
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de $ t^{n} e^{a t} $ é conhecida e tem uma fórmula específica. A fórmula geral para a transformada de $ t^{n} e^{a t} $ é:
Aqui, $ n! $ representa o fatorial de $ n $, $ s $ é a variável da transformada de Laplace, e $ a $ é a constante presente no expoente.
Passo 3
Parte (b): $ g(t) = e^{a t} \cos b t $
Para transformar $ e^{a t} \cos b t $, usamos a fórmula da transformada de Laplace para funções do tipo $ e^{a t} \cos b t $:
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes, e a transformada resulta em uma fração onde o denominador é a soma dos quadrados de $ (s - a) $ e $ b $.
Passo 4
Parte ©: $ h(t) = t e^{a t} \sin b t $
Para transformar $ t e^{a t} \sin b t $, usamos a fórmula da transformada de Laplace que envolve $ t $ multiplicando uma função trigonométrica com um expoente:
Essa fórmula leva em conta o termo $ t $ multiplicando a função seno, resultando em uma expressão mais complexa no denominador.
Passo 5
Parte (d): $ p(t) = (t - 1) \mathcal{U}(t - 2) $
Aqui, $ \mathcal{U}(t - 2) $ é a função degrau de Heaviside que “liga” a função a partir de $ t = 2 $. Para transformar $ (t - 1) \mathcal{U}(t - 2) $, usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
Onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(t) $. Neste caso, $ f(t) = t - 1 $ e $ c = 2 $:
Primeiro, encontramos $ F(s) $ para $ f(t) = t - 1 $:
Então, aplicando o deslocamento:
Passo 6
Parte (e): $ q(t) = \sin t , \mathcal{U}\left(t - \frac{\pi}{2}\right) $
Novamente, temos uma função multiplicada pela função degrau de Heaviside, que ativa a função a partir de $ t = \frac{\pi}{2} $. Usamos a propriedade de deslocamento:
Aqui, $ f(t) = \sin t $ e $ c = \frac{\pi}{2} $. Primeiro, encontramos $ F(s) $:
Então, aplicando o deslocamento:
Passo 7
Parte (f): $ r(t) = (t - 2) e^{2 - t} \mathcal{U}(t - 2) $
Aqui temos uma função mais complexa: $ (t - 2) e^{2 - t} $ multiplicada pela função degrau de Heaviside $ \mathcal{U}(t - 2) $. Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Agora, aplicamos a propriedade de deslocamento com $ c = 2 $ e $ f(t) = (t - 2) e^{-t} $:
Primeiro, encontramos $ \mathcal{L}{ t e^{-t} } $:
Então, incluindo a constante $ e^{2} $:
Resposta
As transformadas de Laplace das funções dadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)