Seja
. Sem usar a regra de L’Hôspital, determine:
(a) os limites
e
;
(b) as assíntotais verticais e horizontais de
, quando houver.
(a) os limites
(b) as assíntotais verticais e horizontais de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, sem usar L’Hôpital, os limites
,
,
e as assíntotas verticais e horizontais de
.
Passo 2
Para tratar limites e assíntotas, fatoramos e simplificamos
. Note que
então, para
,
O domínio original exige
e
.
Passo 3
Cálculo de
.
Perto de , na forma
Perto de
o numerador tende a
(positivo) e o denominador
tende a
. Logo
Passo 4
Cálculo de
.
Como o fator foi cancelado, não há assimptota em
mas sim um ponto de descontinuidade removível. Basta substituir na parte simplificada:
Como o fator
Passo 5
Cálculo de
.
Dividindo polinômio, obtém-se
Dividindo polinômio, obtém-se
Para
, o termo
e
. Assim
Passo 6
Identificação de assíntotas:
- Verticais: valores de
que anulam o denominador sem cancelamento. Aqui só . - Horizontais: limites finitos de
quando . Como ambos os limites em são infinitos, não há assíntota horizontal.
Resposta
(a)
(b) assíntota vertical em ; não há assíntota horizontal.
(b) assíntota vertical em