Seja f(x)=x(x^2-9)(x+3)(1-x). Sem usar a regra de L’Hôspital, determine:
(a) os limites lim x 1^+ f(x), lim x -3 f(x) e lim x -infty f(x);
(b) as assíntotais verticais e horizontais de f, quando houver.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x,(x^2-9)(x+3)(1-x)
e pede, sem usar L’Hôpital, os limites limxto1^+f(x), limxto-3f(x), limxto-inftyf(x) e as assíntotas verticais e horizontais de f.

Passo 2

Para tratar limites e assíntotas, fatoramos e simplificamos f. Note que
x^2-9=(x-3)(x+3)
então, para xneq-3,
f(x) =x,(x-3),(x+3)(x+3)(1-x) =x,(x-3)1-x =-x,(x-3),x-1,
O domínio original exige xneq-3 e xneq1.

Passo 3

Cálculo de limxto1^+f(x).
Perto de x=1, na forma
f(x)=-x,(x-3)x-1,
o numerador tende a -1cdot(-2)=2 (positivo) e o denominador x-1 tende a 0^+. Logo
limxto1^+f(x)=+infty

Passo 4

Cálculo de limxto-3f(x).
Como o fator x+3 foi cancelado, não há assimptota em x=-3 mas sim um ponto de descontinuidade removível. Basta substituir na parte simplificada:
limxto-3f(x) =limxto-3x,(x-3)1-x =(-3),(-6)1-(-3) =184 =92

Passo 5

Cálculo de limxto-inftyf(x).
Dividindo polinômio, obtém-se
f(x)=-x^2-3xx-1 =-l(x-2-2x-1r) =-x+2+2x-1
Para xto-infty, o termo tfrac2x-1to0 e -x+2to+infty. Assim
limxto-inftyf(x)=+infty

Passo 6

Identificação de assíntotas:
  • Verticais: valores de x que anulam o denominador sem cancelamento. Aqui só x=1.
  • Horizontais: limites finitos de f(x) quando xtopminfty. Como ambos os limites em pminfty são infinitos, não há assíntota horizontal.

Resposta

(a) limxto1^+f(x)=+infty,limxto-3f(x)=tfrac92,limxto-inftyf(x)=+infty
(b) assíntota vertical em x=1; não há assíntota horizontal.

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