(a) Encontre um fator de integração
para a equação
de forma a transforma-la numa equação exata.
(b) Verifique que a função
encontrada e realmente um fator integrante.
(b) Verifique que a função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um fator integrante
que torne a equação diferencial exata:
O conteúdo aqui é integrar fatores dependentes de uma única variável para equações não exatas.
Passo 2
Escrevemos no formato
. Isso equivale a
Para ser exata precisamos
mas atualmente
logo não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
. A condição geral é
Aqui,
logo
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial para
:
desprezando a constante multiplicativa.
Passo 5
Verificando que
torna a equação exata: multiplicamos
Então
e como coincidem, a equação resultante é exata.
Resposta
(a)
.
(b) Após multiplicar por , obtém-se
, logo
é realmente um fator integrante.
(b) Após multiplicar por