(a) Encontre um fator de integração mu(y) para a equação
x y+(2 x^2+3 y^2-20) d yd x=0
de forma a transforma-la numa equação exata.
(b) Verifique que a função mu(y) encontrada e realmente um fator integrante.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um fator integrante mu(y) que torne a equação diferencial exata:
x y + l(2x^2 + 3y^2 - 20r),dydx = 0
O conteúdo aqui é integrar fatores dependentes de uma única variável para equações não exatas.

Passo 2

Escrevemos no formato M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Isso equivale a
M(x,y) = x y, N(x,y) = 2x^2 + 3y^2 - 20
Para ser exata precisamos
partial Mpartial y = partial Npartial x,
mas atualmente
partial Mpartial y = x, partial Npartial x = 4x,
logo não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu = mu(y). A condição geral é
1mu,dmudy = partial N/partial x ;-;partial M/partial yM
Aqui,
partial N/partial x - partial M/partial y = 4x - x = 3x, M = x y,
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1mu,dmudy = 3xxy = 3y

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial para mu:
dmumu = 3y,dy Longrightarrow lnmu = 3ln y + C Longrightarrow mu(y) = y^3,
desprezando a constante multiplicativa.

Passo 5

Verificando que mu(y)=y^3 torna a equação exata: multiplicamos
tilde M = y^3cdot M = x y^4, tilde N = y^3cdot N = y^3l(2x^2+3y^2-20r)
Então
partial tilde Mpartial y = 4x,y^3, partial tilde Npartial x = 4x,y^3,
e como coincidem, a equação resultante é exata.

Resposta

(a) mu(y)=y^3.
(b) Após multiplicar por y^3, obtém-se partial(tilde M)/partial y=4x y^3=partial(tilde N)/partial x, logo mu(y) é realmente um fator integrante.

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