Seja uma linha carregada uniformemente com uma carga total de
. Considere: a linha está ao longo do eixo z e seu centro coincide com a origem do sistema de coordenadas; e a linha tem um comprimento
. (a) Encontre a solução analítica para o campo elétrico em
. (b) Modele a linha por cargas pontuais ( 10,15 e 30 ) mantendo a carga total
e calcule computacionalmente o mesmo campo em
e compare e comente os resultados obtidos com o resultado analítico.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo tirado diretamente do enunciado):
- Informação sobre o sistema:
- Carga total da linha:
. - A linha está sobre o eixo
, centrada na origem, com comprimento . Logo a linha vai de até . - O ponto onde se quer o campo é
. Vou chamar à coordenada do ponto .
- Carga total da linha:
- O que o problema pede:
- (a) Encontrar a solução analítica para o campo elétrico em
. - (b) Modelar a linha por cargas pontuais com
(mantendo a carga total ), calcular numericamente o campo em e comparar/comentar com o resultado analítico.
- (a) Encontrar a solução analítica para o campo elétrico em
Passo 2
Relembre do que precisamos usar (aula rápida): Coulomb e superposição.
- A lei de Coulomb para uma carga pontual
em posição dá o campo em :
onde
é o versor que aponta de
para
. Para uma distribuição contínua aplicamos superposição somando (integrando) contribuições de elementos de carga
.
- Para a linha uniforme definimos a densidade linear:
Um elemento de comprimento
na posição
(coordenadas
) tem carga
.
Passo 3
Monte as expressões vetoriais para o elemento de campo vindo de
.
- Vetor que liga
em até é
- Módulo desse vetor:
- Versor na direção desse vetor:
- Campo infinitesimal:
Passo 4
Use simetrias para ver quais componentes sobrevivem.
- A distribuição é simétrica em
. O componente do vetor é ímpar em : contribuições de e se cancelam. Logo a componente total do campo ao longo de é zero. - O componente
é sempre zero (não há componente no integrando). - Portanto resta apenas a componente em
. Escrevendo a componente do elemento:
Integramos
de
até
.
Passo 5
Calcule a integral analítica.
- Integral a resolver:
- Para resolver a integral, observe que
(Verificação rápida: derivando usando a regra do quociente e cadeia obtém-se exatamente essa identidade.)
- Logo a integral é imediata:
- Substituindo de volta:
Como
, temos a forma final simples:
Esse é o campo analítico: direção positiva de
(porque
) e módulo dado pela expressão acima.
Passo 6
Compute numericamente o resultado analítico com os dados dados:
- Constantes e dados:
-
. -
. -
. - Constante de Coulomb
.
-
- Calcule o denominador:
- Então o denominador total em produto com
na fórmula original já simplificado é . - Módulo do campo:
Fazendo as contas:
Valor numérico com casas decimais (arredondando razoavelmente):
Passo 7
Agora a parte numérica: modelagem por cargas pontuais. Método escolhido (explicação didática):
- Para aproximar a linha por
cargas pontuais iguais usamos o método dos retângulos (regra do ponto médio), que é simples e converge bem: - Dividimos o segmento
em subintervalos de comprimento . - Colocamos uma carga
no ponto médio de cada subintervalo: posições
- Cada carga pontual está em
com magnitude . Aplicamos a lei de Coulomb para cada carga e somamos (superposição).
- Dividimos o segmento
- Fórmula do campo resultante (apenas componente
, pois as se cancelam):
Passo 8
Cálculo numérico (apresento os resultados arredondados com 3 casas significativas na parte inteira):
- Para
(posições mediana em ): - Somando as contribuições obtemos numericamente
- Erro relativo frente ao analítico:
- Para
: - Usando os 15 pontos médios e somando as contribuições:
- Erro relativo:
- Para
: - Com 30 pontos médios (passo
) obtemos:
- Erro relativo:
- Com 30 pontos médios (passo
(Dica prática: no seu código a forma de implementação é exatamente a soma mostrada no Passo 7; usar ponto médio melhora a convergência comparado a colocar cargas exatamente nos nós. À medida que
aumenta os valores numéricos convergem para o valor analítico.)
Passo 9
Interpretação e comentário dos resultados (didático e motivador):
- O resultado analítico foi obtido exatamente pela integração; o sinal mostra que o campo aponta em
porque a carga é positiva. - A modelagem por cargas pontuais é uma aproximação da integral por uma soma. Usando o ponto médio, a soma converge para a integral quando
. - Observações práticas:
- Mesmo com
pequeno (por exemplo ) já se obtém uma aproximação muito boa: erro da ordem de relativo. - Com
a diferença é praticamente desprezível para qualquer objetivo prático de prova/exercício. - A razão da boa convergência é que o ponto de observação (
) está bastante distante (comparado ao comprimento ), então a função integranda é bem suave ao longo do segmento e a soma aproxima bem a integral.
- Mesmo com
- Conclusão prática: a soma discreta é uma ferramenta eficiente para aproximar o campo de distribuições contínuas; use mais pontos quando a geometria tiver variações rápidas ou quando o ponto de observação estiver muito próximo da distribuição.
Resposta
(a)
(usando
).
(b) Campos numéricos aproximados usando o modelo por
cargas pontuais (ponto-médio):
-
. -
. -
.
Comparação rápida: os campos discretos convergem para o valor analítico
; já com algumas dezenas de pontos a diferença é muito pequena (erros relativos da ordem de
a
).