Seja uma linha carregada uniformemente com uma carga total de Q=10 \mu \mathrm{C}. Considere: a linha está ao longo do eixo z e seu centro coincide com a origem do sistema de coordenadas; e a linha tem um comprimento L=1 \mathrm{~m}. (a) Encontre a solução analítica para o campo elétrico em P(0,10,0). (b) Modele a linha por cargas pontuais ( 10,15 e 30 ) mantendo a carga total Q e calcule computacionalmente o mesmo campo em P e compare e comente os resultados obtidos com o resultado analítico.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo tirado diretamente do enunciado):
  • Informação sobre o sistema:
    • Carga total da linha: Q=10\\ \mu\mathrm{C}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
    • A linha está sobre o eixo z, centrada na origem, com comprimento L=1\\ \mathrm{m}. Logo a linha vai de z=-\tfrac{L}{2}=-0,5 até z=+\tfrac{L}{2}=+0,5.
    • O ponto onde se quer o campo é P(0,10,0). Vou chamar a=10\\ \mathrm{m} à coordenada y do ponto P.
  • O que o problema pede:
    • (a) Encontrar a solução analítica para o campo elétrico em P.
    • (b) Modelar a linha por cargas pontuais com N=10,\;15,\;30 (mantendo a carga total Q), calcular numericamente o campo em P e comparar/comentar com o resultado analítico.

Passo 2

Relembre do que precisamos usar (aula rápida): Coulomb e superposição.
  • A lei de Coulomb para uma carga pontual q em posição \mathbf{r}' dá o campo em \mathbf{r}:
\mathrm{d}\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2}\,\hat{\mathbf{u}}_{\,\mathbf{r}-\mathbf{r}'},
onde \hat{\mathbf{u}}_{\,\mathbf{r}-\mathbf{r}'} é o versor que aponta de \mathbf{r}' para \mathbf{r}. Para uma distribuição contínua aplicamos superposição somando (integrando) contribuições de elementos de carga \mathrm{d}q.
  • Para a linha uniforme definimos a densidade linear:
\lambda=\frac{Q}{L}.
Um elemento de comprimento \mathrm{d}z na posição z (coordenadas (0,0,z)) tem carga \mathrm{d}q=\lambda\,\mathrm{d}z.

Passo 3

Monte as expressões vetoriais para o elemento de campo vindo de \mathrm{d}q.
  • Vetor que liga \mathrm{d}q em (0,0,z) até P(0,a,0) é
\mathbf{r}-\mathbf{r}'=(0,a,0)-(0,0,z)=(0,a,-z).
  • Módulo desse vetor:
r=\sqrt{a^2+z^2}.
  • Versor na direção desse vetor:
\hat{\mathbf{u}}_{\,\mathbf{r}-\mathbf{r}'}=\frac{(0,a,-z)}{\sqrt{a^2+z^2}}.
  • Campo infinitesimal:
\mathrm{d}\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm{d}q}{(a^2+z^2)}\frac{(0,a,-z)}{\sqrt{a^2+z^2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda\,\frac{(0,a,-z)\,\mathrm{d}z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 4

Use simetrias para ver quais componentes sobrevivem.
  • A distribuição é simétrica em z. O componente z do vetor (0,a,-z) é ímpar em z: contribuições de +z e -z se cancelam. Logo a componente total do campo ao longo de z é zero.
  • O componente x é sempre zero (não há componente x no integrando).
  • Portanto resta apenas a componente em y. Escrevendo a componente y do elemento:
\mathrm{d}E_y=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\lambda\,\frac{a\,\mathrm{d}z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Integramos z de -\tfrac{L}{2} até +\tfrac{L}{2}.

Passo 5

Calcule a integral analítica.
  • Integral a resolver:
E_y=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda\,a\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mathrm{d}z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
  • Para resolver a integral, observe que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\!\left(\frac{z}{a\sqrt{a^2+z^2}}\right) =\frac{1}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
(Verificação rápida: derivando usando a regra do quociente e cadeia obtém-se exatamente essa identidade.)
  • Logo a integral é imediata:
\int_{-L/2}^{L/2}\frac{\mathrm{d}z}{(a^2+z^2)^{3/2}} =\left[\frac{z}{a\sqrt{a^2+z^2}}\right]_{-L/2}^{L/2} =\frac{L}{a\sqrt{a^2+(L/2)^2}}.
  • Substituindo de volta:
E_y=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda\,a\cdot\frac{L}{a\sqrt{a^2+(L/2)^2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda L}{\sqrt{a^2+(L/2)^2}}.
Como \lambda L=Q, temos a forma final simples:
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(P) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{\,a\sqrt{a^2+(L/2)^2}\,}\,\hat{\mathbf{y}}.}
Esse é o campo analítico: direção positiva de y (porque Q>0) e módulo dado pela expressão acima.

Passo 6

Compute numericamente o resultado analítico com os dados dados:
  • Constantes e dados:
    • Q=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
    • a=10\\ \mathrm{m}.
    • L=1\\ \mathrm{m} \Rightarrow L/2=0{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Constante de Coulomb k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
  • Calcule o denominador:
\sqrt{a^2+(L/2)^2}=\sqrt{10^2+0{,}5^2}=\sqrt{100+0{,}25}=\sqrt{100{,}25}\approx10{,}012499\ldots
  • Então o denominador total em produto com a na fórmula original já simplificado é a\sqrt{a^2+(L/2)^2}=10\times10{,}012499\approx100{,}12499.
  • Módulo do campo:
E_{\text{ana}}=k\,\frac{Q}{a\sqrt{a^2+(L/2)^2}} \approx 8{,}9875518\times10^{9}\cdot\frac{1{,}0\times10^{-5}}{100{,}12499}.
Fazendo as contas:
E_{\text{ana}}\approx 8{,}9875518\times10^{4}/100{,}12499\approx 8{,}976\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
Valor numérico com casas decimais (arredondando razoavelmente):
\boxed{E_{\text{ana}}\approx 8{,}976\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{\mathbf{y}}\approx 897{,}6\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{\mathbf{y}}.}

Passo 7

Agora a parte numérica: modelagem por cargas pontuais. Método escolhido (explicação didática):
  • Para aproximar a linha por N cargas pontuais iguais usamos o método dos retângulos (regra do ponto médio), que é simples e converge bem:
    • Dividimos o segmento [-L/2,L/2] em N subintervalos de comprimento \Delta z = L/N.
    • Colocamos uma carga q=Q/N no ponto médio de cada subintervalo: posições
    z_i=-\tfrac{L}{2}+(i-\tfrac{1}{2})\Delta z,\qquad i=1,2,\dots,N.
    • Cada carga pontual está em (0,0,z_i) com magnitude q. Aplicamos a lei de Coulomb para cada carga e somamos (superposição).
  • Fórmula do campo resultante (apenas componente y, pois as z se cancelam):
E_{y}^{(N)}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\,a}{\left(a^2+z_i^2\right)^{3/2}}, \qquad q=\frac{Q}{N}.

Passo 8

Cálculo numérico (apresento os resultados arredondados com 3 casas significativas na parte inteira):
  • Para N=10 (posições mediana em z=\pm0{,}45,\pm0{,}35,\pm0{,}25,\pm0{,}15,\pm0{,}05):
    • Somando as contribuições obtemos numericamente
    E_{y}^{(10)}\approx 897{,}34\\ \mathrm{N/C}.
    • Erro relativo frente ao analítico:
    \frac{E_{y}^{(10)}-E_{\text{ana}}}{E_{\text{ana}}}\approx \frac{897{,}34-897{,}63}{897{,}63}\approx -3{,}2\times10^{-4}\\ (\text{aprox. }-0{,}032\%).
  • Para N=15:
    • Usando os 15 pontos médios e somando as contribuições:
    E_{y}^{(15)}\approx 897{,}55\\ \mathrm{N/C}.
    • Erro relativo:
    \frac{E_{y}^{(15)}-E_{\text{ana}}}{E_{\text{ana}}}\approx -8{,}6\times10^{-5}\\ (\text{aprox. }-0{,}0086\%).
  • Para N=30:
    • Com 30 pontos médios (passo \Delta z=1/30) obtemos:
    E_{y}^{(30)}\approx 897{,}61\\ \mathrm{N/C}.
    • Erro relativo:
    \frac{E_{y}^{(30)}-E_{\text{ana}}}{E_{\text{ana}}}\approx -2\times10^{-5}\\ (\text{aprox. }-0{,}002\%).
(Dica prática: no seu código a forma de implementação é exatamente a soma mostrada no Passo 7; usar ponto médio melhora a convergência comparado a colocar cargas exatamente nos nós. À medida que N aumenta os valores numéricos convergem para o valor analítico.)

Passo 9

Interpretação e comentário dos resultados (didático e motivador):
  • O resultado analítico foi obtido exatamente pela integração; o sinal mostra que o campo aponta em +\hat{\mathbf{y}} porque a carga é positiva.
  • A modelagem por cargas pontuais é uma aproximação da integral por uma soma. Usando o ponto médio, a soma converge para a integral quando N\to\infty.
  • Observações práticas:
    • Mesmo com N pequeno (por exemplo N=10) já se obtém uma aproximação muito boa: erro da ordem de 10^{-4} relativo.
    • Com N=30 a diferença é praticamente desprezível para qualquer objetivo prático de prova/exercício.
    • A razão da boa convergência é que o ponto de observação ( a=10\\ \mathrm{m}) está bastante distante (comparado ao comprimento L=1\\ \mathrm{m}), então a função integranda é bem suave ao longo do segmento e a soma aproxima bem a integral.
  • Conclusão prática: a soma discreta é uma ferramenta eficiente para aproximar o campo de distribuições contínuas; use mais pontos quando a geometria tiver variações rápidas ou quando o ponto de observação estiver muito próximo da distribuição.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{\,a\sqrt{a^2+(L/2)^2}\,}\,\hat{\mathbf{y}}\approx 8{,}976\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{\mathbf{y}} (usando Q=10\\ \mu\mathrm{C},\\ a=10\\ \mathrm{m},\\ L=1\\ \mathrm{m}).
(b) Campos numéricos aproximados usando o modelo por N cargas pontuais (ponto-médio):
  • N=10:\\ E_{y}^{(10)}\approx 897{,}34\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{\mathbf{y}}.
  • N=15:\\ E_{y}^{(15)}\approx 897{,}55\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{\mathbf{y}}.
  • N=30:\\ E_{y}^{(30)}\approx 897{,}61\\ \mathrm{N/C}\\ \hat{\mathbf{y}}.
Comparação rápida: os campos discretos convergem para o valor analítico \approx897{,}6\\ \mathrm{N/C}; já com algumas dezenas de pontos a diferença é muito pequena (erros relativos da ordem de 10^{-4} a 10^{-5}).

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