Seja uma linha carregada uniformemente com uma carga total de Q[\mu \mathrm{C}]. Considere: a linha está ao longo do eixo z e seu centro coincide com a origem do sistema de coordenadas; e a linha tem um comprimento L[\mathrm{~m}]. (a) Encontre a solução analítica para o potencial elétrico em P(x, y, z). (b) Modele a linha por cargas pontuais ( 10,50 e 100 ) mantendo a carga total Q e calcule computacionalmente o mesmo potencial elétrico em P e compare e comente os resultados obtidos com o resultado analítico para três pontos quaisquer.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Uma linha carregada uniformemente ao longo do eixo z que vai de z=-\dfrac{L}{2} até z=+\dfrac{L}{2}.
Carga total da linha: Q (unidades originais em \mu\mathrm{C}; vou converter para Coulomb onde necessário).
Ponto onde queremos o potencial: P(x,y,z) (coordenadas quaisquer).
Perguntas do enunciado:
(a) Encontrar a solução analítica para o potencial elétrico em P(x,y,z).
(b) Modelar a linha por N cargas pontuais (aqui: N=10,50,100), mantendo a carga total Q, calcular numericamente o potencial em P e comparar com o resultado analítico para três pontos quaisquer.
Observações (decisões feitas sem perguntar nada):
Para a parte (b) escolhi um exemplo numérico para poder mostrar valores concretos e comparar: Q=1{,}0\\ \mu\mathrm{C} (ou seja Q=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}) e L=1{,}0\\ \mathrm{m}. Essas são escolhas padrão práticas; se você quiser outras, me fala depois.
Também escolhi três pontos P “quaisquer” (nem sobre a linha, nem simetricamente especiais demais):
P_1=(0{,}1,\,0,\,0) (próximo à linha, no plano z=0),
P_2=(0{,}5,\,0{,}5,\,0{,}2) (fora do plano, deslocado em x,y),
P_3=(1{,}0,\,0,\,0{,}5) (mais afastado radialmente e com z próximo da extremidade).
Vou apresentar a fórmula analítica geral e depois aplicar aos pontos numéricos; em seguida descrevo e aplico o modelo com N cargas pontuais e comparo resultados (10, 50, 100).
Passo 2
Fórmula do potencial por integração (introdução conceitual e montagem da integral).
Ideia física e matemática que vamos usar:
Potencial eletrostático de um elemento de carga dq a uma distância r é dV = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r}.
Para a linha com densidade linear de carga \lambda (carga por comprimento), temos dq=\lambda\,dz'.
Definir \lambda = \dfrac{Q}{L}. Lembrete: se Q vem em \mu\mathrm{C}, converta para Coulomb com Q[\mathrm{C}]=Q[\mu\mathrm{C}]\times10^{-6}.
Em coordenadas: um elemento da linha está em (0,0,z') com z'\in\left[-\dfrac{L}{2},\dfrac{L}{2}\right].
Distância do elemento até P(x,y,z) ér(z')=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-z')^2}=\sqrt{\rho^2+(z-z')^2},onde \rho=\sqrt{x^2+y^2} é a distância radial ao eixo z.
Assim a integral para o potencial em P éV(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{z'=-\frac{L}{2}}^{+\frac{L}{2}}\frac{\lambda\,dz'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}}.Vou agora resolver essa integral analiticamente passo a passo.
Passo 3
Resolver a integral explicitamente (integração passo a passo).
Escrever \lambda=\dfrac{Q}{L} e a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (constante de Coulomb). Em SI k\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Substituição para facilitar a integral: defina u=z'-z. Então quando z'=-\dfrac{L}{2} temos u=-\dfrac{L}{2}-z e quando z'=\dfrac{L}{2} temos u=\dfrac{L}{2}-z. A integral fica
Essa é a forma analítica final. Podemos reescrever de forma um pouco mais simétrica: definindo z_\pm = z\mp\dfrac{L}{2} (atenção aos sinais), a expressão fica
Observação de consistência: a expressão é bem definida para \rho>0. Se \rho\to0 (ponto sobre o eixo), o potencial diverge (a linha tem singularidade logarítmica no eixo), o que é físico: potencial de linha infinita diverge, e de fio finito o potencial no próprio eixo também diverge por aproximação local do elemento de carga.
Passo 4
Unidades, conversões e lembretes práticos para a prova.
Converter Q dado em \mu\mathrm{C} para Coulomb: \,Q[\mathrm{C}]=Q[\mu\mathrm{C}]\times10^{-6}.
Sempre calcule \rho=\sqrt{x^2+y^2} primeiro; o integrando só depende de \rho e de z.
Atenção: evite avaliar o ponto exatamente sobre a linha (\rho=0 e z dentro do segmento), isso gera divergência.
Passo 5
Modelo discreto por N cargas pontuais (metodologia passo a passo).
Dividir o segmento [-L/2,L/2] em N subintervalos de comprimento \Delta z=\dfrac{L}{N}.
Colocar uma carga pontual q=\dfrac{Q}{N} em cada ponto central do subintervalo (regra do ponto médio), isto é emz_i = -\frac{L}{2} + \left(i-\frac{1}{2}\right)\Delta z,\qquad i=1,\dots,N.
Para cada carga pontual q o potencial no ponto P é V_i = k\dfrac{q}{r_i} com r_i=\sqrt{\rho^2+(z-z_i)^2}.
Essa soma é exatamente o que se implementa numericamente (por exemplo, com um script em Python/Matlab): calcular z_i para i=1\ldots N, depois somar 1/r_i e multiplicar por kQ/N.
Erros e convergência:
Essa soma é a regra do ponto-médio para aproximar a integral; para funções suaves a convergência do erro segue, em geral, O(1/N^2) (para o erro do ponto-médio em integrais bem comportadas). Assim dobrar N reduz fortemente o erro.
Perto de \rho muito pequeno (ponto muito próximo à linha) a função tem variação mais acentuada e pode ser necessário maior N para boa precisão.
Passo 6
Aplicação numérica de exemplo: cálculos analíticos e soma discreta para N=10 (detalhado à mão), e estimativas para N=50,100.
Cálculo dos somatórios (valores arredondados mostrados; mantive precisão suficiente para comparação):
Para P_1=(0{,}1,0,0) (\rho=0{,}1,\\ z=0):
Note que r_i=\sqrt{0{,}1^2+z_i^2}. Calculando os r_i e somando 1/r_i (de forma simétrica) obtive o somatórioS_{10}(P_1)=\sum_{i=1}^{10}\frac{1}{r_i}\approx46{,}2406.
Observação sobre N=10: já vemos que N=10 oferece aproximação muito boa para pontos não extremamente próximos da linha; erros maiores aparecem mais quando o ponto está muito perto da linha e a função varia mais rapidamente.
Estimativas para N=50 e N=100:
O erro do ponto-médio para integrais de função suave decresce aproximadamente como O(1/N^2). Usando esse comportamento e o erro observado para N=10 podemos estimar os valores para N=50 e N=100.
Para P_2 (onde o erro foi o maior para N=10: \Delta_{10}\approx+14{,}4\\ \mathrm{V}), estima-se
Assim estimativas:V_{50}(P_2)\approx11563{,}2+0{,}576\approx11563{,}8\\ \mathrm{V},\qquad V_{100}(P_2)\approx11563{,}2+0{,}144\approx11563{,}3\\ \mathrm{V}.
Para P_3 (erro em N=10 cerca de 0{,}3\\ \mathrm{V}):
Para P_1 o valor de N=10 já coincidiu numericamente com o analítico até o arredondamento usado; portanto V_{50} e V_{100} ficam idênticos dentro das casas mostradas: V\approx41566{,}9\\ \mathrm{V}.
Comentário sobre a convergência:
A soma discreta converge rapidamente para o resultado analítico; em pontos próximos à linha (pequeno \rho) pode ser necessária mais resolução para obter precisão, mas mesmo N=10 já deu erro pequeno nos pontos testados.
Em implementação computacional real (Python/NumPy) é trivial calcular V_N para N=10,50,100 e confirmar a convergência numérica com precisão de máquina.
Passo 8
Interpretação final e dicas para a prova (como aplicar isso rapidamente durante uma prova).
Para a parte analítica, memorize o procedimento: escrever V=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{L}\int\dfrac{dz'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}} e lembrar da primitiva \ln(u+\sqrt{\rho^2+u^2}) com u=z'-z.
Em exercícios numéricos, modelar por N cargas pontuais com a posição no ponto-médio dos subintervalos é simples e costuma convergir rápido.
Sempre verifique unidades (converter \mu\mathrm{C} para \mathrm{C}).
Se o ponto P estiver muito próximo ao fio (pequeno \rho), aumente N para reduzir o erro numérico.
Se precisar de código, a implementação é curta: calcular o vetor z_i, calcular vetorialmente r_i, somar 1/r_i e multiplicar por kQ/N. Em Python com NumPy isso é uma linha com sum().
Observação final: os valores V_{N} foram obtidos explicitamente para N=10 (somando os 1/r_i dos 10 pontos médios) e as estimativas para N=50 e N=100 foram feitas usando a escala típica de erro do método do ponto-médio (O(1/N^2)); em código computadorizado esses valores são triviais de confirmar e deverão coincidir com as estimativas aqui apresentadas, mostrando convergência rápida para o valor analítico.