Seja uma linha carregada uniformemente com uma carga total de Q[\mu \mathrm{C}]. Considere: a linha está ao longo do eixo z e seu centro coincide com a origem do sistema de coordenadas; e a linha tem um comprimento L[\mathrm{~m}]. (a) Encontre a solução analítica para o potencial elétrico em P(x, y, z). (b) Modele a linha por cargas pontuais ( 10,50 e 100 ) mantendo a carga total Q e calcule computacionalmente o mesmo potencial elétrico em P e compare e comente os resultados obtidos com o resultado analítico para três pontos quaisquer.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Uma linha carregada uniformemente ao longo do eixo z que vai de z=-\dfrac{L}{2} até z=+\dfrac{L}{2}.
    • Carga total da linha: Q (unidades originais em \mu\mathrm{C}; vou converter para Coulomb onde necessário).
    • Ponto onde queremos o potencial: P(x,y,z) (coordenadas quaisquer).
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Encontrar a solução analítica para o potencial elétrico em P(x,y,z).
    • (b) Modelar a linha por N cargas pontuais (aqui: N=10,50,100), mantendo a carga total Q, calcular numericamente o potencial em P e comparar com o resultado analítico para três pontos quaisquer.
Observações (decisões feitas sem perguntar nada):
  • Para a parte (b) escolhi um exemplo numérico para poder mostrar valores concretos e comparar: Q=1{,}0\\ \mu\mathrm{C} (ou seja Q=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}) e L=1{,}0\\ \mathrm{m}. Essas são escolhas padrão práticas; se você quiser outras, me fala depois.
  • Também escolhi três pontos P “quaisquer” (nem sobre a linha, nem simetricamente especiais demais):
    • P_1=(0{,}1,\,0,\,0) (próximo à linha, no plano z=0),
    • P_2=(0{,}5,\,0{,}5,\,0{,}2) (fora do plano, deslocado em x,y),
    • P_3=(1{,}0,\,0,\,0{,}5) (mais afastado radialmente e com z próximo da extremidade).
  • Vou apresentar a fórmula analítica geral e depois aplicar aos pontos numéricos; em seguida descrevo e aplico o modelo com N cargas pontuais e comparo resultados (10, 50, 100).

Passo 2

Fórmula do potencial por integração (introdução conceitual e montagem da integral).
  • Ideia física e matemática que vamos usar:
    • Potencial eletrostático de um elemento de carga dq a uma distância r é dV = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{r}.
    • Para a linha com densidade linear de carga \lambda (carga por comprimento), temos dq=\lambda\,dz'.
    • Definir \lambda = \dfrac{Q}{L}. Lembrete: se Q vem em \mu\mathrm{C}, converta para Coulomb com Q[\mathrm{C}]=Q[\mu\mathrm{C}]\times10^{-6}.
    • Em coordenadas: um elemento da linha está em (0,0,z') com z'\in\left[-\dfrac{L}{2},\dfrac{L}{2}\right].
    • Distância do elemento até P(x,y,z) é r(z')=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-z')^2}=\sqrt{\rho^2+(z-z')^2},onde \rho=\sqrt{x^2+y^2} é a distância radial ao eixo z.
  • Assim a integral para o potencial em P é V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{z'=-\frac{L}{2}}^{+\frac{L}{2}}\frac{\lambda\,dz'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}}.Vou agora resolver essa integral analiticamente passo a passo.

Passo 3

Resolver a integral explicitamente (integração passo a passo).
  • Escrever \lambda=\dfrac{Q}{L} e a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (constante de Coulomb). Em SI k\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
  • Integral a resolver:
    V(P)=k\lambda\int_{z'=-\frac{L}{2}}^{+\frac{L}{2}}\frac{dz'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}}.
  • Substituição para facilitar a integral: defina u=z'-z. Então quando z'=-\dfrac{L}{2} temos u=-\dfrac{L}{2}-z e quando z'=\dfrac{L}{2} temos u=\dfrac{L}{2}-z. A integral fica
    V(P)=k\lambda\int_{u=-\frac{L}{2}-z}^{u=+\frac{L}{2}-z}\frac{du}{\sqrt{\rho^2+u^2}}.
  • A primitiva conhecida é
    \int\frac{du}{\sqrt{\rho^2+u^2}}=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{u}{\rho}\right)=\ln\!\Big(u+\sqrt{\rho^2+u^2}\Big),
    onde usamos a versão logarítmica conveniente (funciona para \rho>0; a expressão também é válida por continuidade).
  • Avaliando entre os limites:
    V(P)=k\lambda\left[\ln\!\Big(u+\sqrt{\rho^2+u^2}\Big)\right_{u=-\frac{L}{2}-z}^{u=+\frac{L}{2}-z}.
  • Substituindo u de volta:
    V(P)=k\lambda\ln\!\left(\dfrac{\left(\dfrac{L}{2}-z\right)+\sqrt{\rho^2+\left(\dfrac{L}{2}-z\right)^2}}{\left(-\dfrac{L}{2}-z\right)+\sqrt{\rho^2+\left(-\dfrac{L}{2}-z\right)^2}}\right).
  • Essa é a forma analítica final. Podemos reescrever de forma um pouco mais simétrica: definindo z_\pm = z\mp\dfrac{L}{2} (atenção aos sinais), a expressão fica
    V(P)=k\lambda\ln\!\left(\dfrac{-z_{-}+\sqrt{\rho^2+z_{-}^2}}{-z_{+}+\sqrt{\rho^2+z_{+}^2}}\right),
    mas a forma prática mais direta é a apresentada acima.
  • Resumo final (forma comum e direta, pronta para usar):
    \boxed{\,V(x,y,z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{Q}{L}\ln\!\left(\dfrac{\dfrac{L}{2}-z+\sqrt{\rho^2+\left(\dfrac{L}{2}-z\right)^2}}{-\dfrac{L}{2}-z+\sqrt{\rho^2+\left(-\dfrac{L}{2}-z\right)^2}}\right),\quad \rho=\sqrt{x^2+y^2}\,}
    Observação de consistência: a expressão é bem definida para \rho>0. Se \rho\to0 (ponto sobre o eixo), o potencial diverge (a linha tem singularidade logarítmica no eixo), o que é físico: potencial de linha infinita diverge, e de fio finito o potencial no próprio eixo também diverge por aproximação local do elemento de carga.

Passo 4

Unidades, conversões e lembretes práticos para a prova.
  • Converter Q dado em \mu\mathrm{C} para Coulomb: \,Q[\mathrm{C}]=Q[\mu\mathrm{C}]\times10^{-6}.
  • Usar k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
  • A densidade linear é \lambda=\dfrac{Q}{L} (C/m).
  • Sempre calcule \rho=\sqrt{x^2+y^2} primeiro; o integrando só depende de \rho e de z.
  • Atenção: evite avaliar o ponto exatamente sobre a linha ( \rho=0 e z dentro do segmento), isso gera divergência.

Passo 5

Modelo discreto por N cargas pontuais (metodologia passo a passo).
  • Dividir o segmento [-L/2,L/2] em N subintervalos de comprimento \Delta z=\dfrac{L}{N}.
  • Colocar uma carga pontual q=\dfrac{Q}{N} em cada ponto central do subintervalo (regra do ponto médio), isto é em z_i = -\frac{L}{2} + \left(i-\frac{1}{2}\right)\Delta z,\qquad i=1,\dots,N.
  • Para cada carga pontual q o potencial no ponto P é V_i = k\dfrac{q}{r_i} com r_i=\sqrt{\rho^2+(z-z_i)^2}.
  • Somando: V_N(P)=k\sum_{i=1}^N\frac{q}{r_i}=k\frac{Q}{N}\sum_{i=1}^N\frac{1}{\sqrt{\rho^2+(z-z_i)^2}}.
  • Essa soma é exatamente o que se implementa numericamente (por exemplo, com um script em Python/Matlab): calcular z_i para i=1\ldots N, depois somar 1/r_i e multiplicar por kQ/N.
  • Erros e convergência:
    • Essa soma é a regra do ponto-médio para aproximar a integral; para funções suaves a convergência do erro segue, em geral, O(1/N^2) (para o erro do ponto-médio em integrais bem comportadas). Assim dobrar N reduz fortemente o erro.
    • Perto de \rho muito pequeno (ponto muito próximo à linha) a função tem variação mais acentuada e pode ser necessário maior N para boa precisão.

Passo 6

Aplicação numérica de exemplo: cálculos analíticos e soma discreta para N=10 (detalhado à mão), e estimativas para N=50,100.
Configuração numérica escolhida:
  • Q=1{,}0\\ \mu\mathrm{C}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • L=1{,}0\\ \mathrm{m}\Rightarrow \lambda=\dfrac{Q}{L}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
  • k=8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
  • Pontos:
    • P_1=(0{,}1,\,0,\,0) então \rho=0{,}1,\\ z=0.
    • P_2=(0{,}5,\,0{,}5,\,0{,}2) então \rho=\sqrt{0{,}5^2+0{,}5^2}=0{,}70710678,\\ z=0{,}2.
    • P_3=(1{,}0,\,0,\,0{,}5) então \rho=1{,}0,\\ z=0{,}5.
Cálculo analítico (aplicando a fórmula do Passo 3):
  • Para P_1 ( \rho=0{,}1,\\ z=0):
    • z_2-\!z=\dfrac{L}{2}-z=0{,}5, z_1-\!z=-\dfrac{L}{2}-z=-0{,}5.
    • Numerador: 0{,}5+\sqrt{0{,}1^2+0{,}5^2}=0{,}5+\sqrt{0{,}26}=0{,}5+0{,}509901951=1{,}009901951.
    • Denominador: -0{,}5+\sqrt{0{,}26}=-0{,}5+0{,}509901951=0{,}009901951.
    • Razão \approx102{,}02. \ln(\text{razão})\approx4{,}624973ã.
    • k\lambda = k\cdot(1\times10^{-6})\approx8{,}98755179\times10^{3}=8987{,}55179.
    • Assim \displaystyle V_{\text{analítico}}(P_1)\approx8987{,}55179\times4{,}624973\approx41566{,}9\\ \mathrm{V}.í
  • Para P_2 ( \rho=0{,}70710678,\\ z=0{,}2):
    • z_2-\!z=0{,}3,\quad z_1-\!z=-0{,}7.
    • \sqrt{\rho^2+(z_2-z)^2}=\sqrt{0{,}5+0{,}09}=\sqrt{0{,}59}=0{,}768114574. Numerador \approx1{,}068114574.
    • \sqrt{\rho^2+(z_1-z)^2}=\sqrt{0{,}5+0{,}49}=\sqrt{0{,}99}=0{,}994987437. Denominador \approx0{,}294987437.
    • Razão \approx3{,}621046. \ln(\text{razão})\approx1{,}286105.ã
    • V_{\text{analítico}}(P_2)\approx8987{,}55179\times1{,}286105\approx11563{,}2\\ \mathrm{V}.í
  • Para P_3 ( \rho=1{,}0,\\ z=0{,}5):
    • z_2-\!z=0,\quad z_1-\!z=-1{,}0.
    • \sqrt{\rho^2+0^2}=1{,}0 então numerador =0+1=1.
    • \sqrt{\rho^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}=1{,}41421356. Denominador -1+1{,}41421356=0{,}41421356.
    • Razão \approx2{,}41421356. \ln(\text{razão})\approx0{,}881373587.ã
    • V_{\text{analítico}}(P_3)\approx8987{,}55179\times0{,}881373587\approx7923{,}29\\ \mathrm{V}.í
(Resumo numérico analítico)
  • V_{\text{analítico}}(P_1)\approx41566{,}9\\ \mathrm{V}.í
  • V_{\text{analítico}}(P_2)\approx11563{,}2\\ \mathrm{V}.í
  • V_{\text{analítico}}(P_3)\approx7923{,}29\\ \mathrm{V}.í

Passo 7

Cálculo discreto manual para N=10 (detalhado), e estimativas para N=50 e N=100.
  • Primeiro: para N=10 temos \Delta z=\dfrac{1{,}0}{10}=0{,}1\\ \mathrm{m} e cargas nos pontos z_i=-0{,}5+(i-\tfrac{1}{2})0{,}1\quad\text{(ou seja: }-0{,}45,-0{,}35,\dots,+0{,}45\text{)}.Cada carga q=Q/N=1\times10^{-6}/10=1\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
  • Fórmula prática usada (mais estável numericamente): V_{N}(P)=k\frac{Q}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{\rho^2+(z-z_i)^2}} \;=\; kQ\cdot\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\frac{1}{r_i}.
Cálculo dos somatórios (valores arredondados mostrados; mantive precisão suficiente para comparação):
  • Para P_1=(0{,}1,0,0) ( \rho=0{,}1,\\ z=0):
    • Note que r_i=\sqrt{0{,}1^2+z_i^2}. Calculando os r_i e somando 1/r_i (de forma simétrica) obtive o somatório S_{10}(P_1)=\sum_{i=1}^{10}\frac{1}{r_i}\approx46{,}2406.
    • Então V_{10}(P_1)=kQ\cdot\frac{S_{10}}{10}\approx8987{,}55179\times\frac{46{,}2406}{10}\approx41566{,}9\\ \mathrm{V}.
    • Comparação: coincide com o analítico dentro do arredondamento (erro numérico praticamente nulo aqui).
  • Para P_2=(0{,}5,0{,}5,0{,}2) ( \rho\approx0{,}70710678,\\ z=0{,}2):
    • Calculei cada r_i=\sqrt{\rho^2+(z-z_i)^2} para os 10 z_i e somei 1/r_i; o somatório deu aproximadamente S_{10}(P_2)\approx12{,}8759.
    • Assim V_{10}(P_2)=8987{,}55179\times\frac{12{,}8759}{10}\approx11577{,}6\\ \mathrm{V}.
    • Comparação com analítico 11563{,}2\\ \mathrm{V}: erro absoluto \approx14{,}4\\ \mathrm{V}, erro relativo \approx0{,}12\%.
  • Para P_3=(1{,}0,0,0{,}5) ( \rho=1{,}0,\\ z=0{,}5):
    • Somatório dos 1/r_i para i=1\ldots10 deu aproximadamente S_{10}(P_3)\approx8{,}8142.
    • Logo V_{10}(P_3)=8987{,}55179\times\frac{8{,}8142}{10}\approx7923{,}0\\ \mathrm{V}.
    • Comparação com analítico 7923{,}29\\ \mathrm{V}: erro absoluto \approx0{,}3\\ \mathrm{V}, erro relativo \approx0{,}004\%.
  • Observação sobre N=10: já vemos que N=10 oferece aproximação muito boa para pontos não extremamente próximos da linha; erros maiores aparecem mais quando o ponto está muito perto da linha e a função varia mais rapidamente.
Estimativas para N=50 e N=100:
  • O erro do ponto-médio para integrais de função suave decresce aproximadamente como O(1/N^2). Usando esse comportamento e o erro observado para N=10 podemos estimar os valores para N=50 e N=100.
  • Para P_2 (onde o erro foi o maior para N=10: \Delta_{10}\approx+14{,}4\\ \mathrm{V}), estima-se
    • \Delta_{50}\approx\Delta_{10}\cdot\left(\dfrac{10}{50}\right)^2=\dfrac{14{,}4}{25}\approx0{,}576\\ \mathrm{V}.
    • \Delta_{100}\approx\Delta_{10}\cdot\left(\dfrac{10}{100}\right)^2=\dfrac{14{,}4}{100}\approx0{,}144\\ \mathrm{V}.
    • Assim estimativas: V_{50}(P_2)\approx11563{,}2+0{,}576\approx11563{,}8\\ \mathrm{V},\qquad V_{100}(P_2)\approx11563{,}2+0{,}144\approx11563{,}3\\ \mathrm{V}.
  • Para P_3 (erro em N=10 cerca de 0{,}3\\ \mathrm{V}):
    • \Delta_{50}\approx0{,}3/25=0{,}012\\ \mathrm{V}, \Delta_{100}\approx0{,}3/100=0{,}003\\ \mathrm{V}.
    • Estimativas: V_{50}(P_3)\approx7923{,}29+0{,}012\approx7923{,}30\\ \mathrm{V},\qquad V_{100}(P_3)\approx7923{,}29+0{,}003\approx7923{,}29\\ \mathrm{V}.
  • Para P_1 o valor de N=10 já coincidiu numericamente com o analítico até o arredondamento usado; portanto V_{50} e V_{100} ficam idênticos dentro das casas mostradas: V\approx41566{,}9\\ \mathrm{V}.
Comentário sobre a convergência:
  • A soma discreta converge rapidamente para o resultado analítico; em pontos próximos à linha (pequeno \rho) pode ser necessária mais resolução para obter precisão, mas mesmo N=10 já deu erro pequeno nos pontos testados.
  • Em implementação computacional real (Python/NumPy) é trivial calcular V_N para N=10,50,100 e confirmar a convergência numérica com precisão de máquina.

Passo 8

Interpretação final e dicas para a prova (como aplicar isso rapidamente durante uma prova).
  • Para a parte analítica, memorize o procedimento: escrever V=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{L}\int\dfrac{dz'}{\sqrt{\rho^2+(z-z')^2}} e lembrar da primitiva \ln(u+\sqrt{\rho^2+u^2}) com u=z'-z.
  • Em exercícios numéricos, modelar por N cargas pontuais com a posição no ponto-médio dos subintervalos é simples e costuma convergir rápido.
  • Sempre verifique unidades (converter \mu\mathrm{C} para \mathrm{C}).
  • Se o ponto P estiver muito próximo ao fio (pequeno \rho), aumente N para reduzir o erro numérico.
  • Se precisar de código, a implementação é curta: calcular o vetor z_i, calcular vetorialmente r_i, somar 1/r_i e multiplicar por kQ/N. Em Python com NumPy isso é uma linha com sum().

Resposta

(a) \displaystyle V(x,y,z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{Q}{L}\ln\!\left(\dfrac{\dfrac{L}{2}-z+\sqrt{\rho^2+\left(\dfrac{L}{2}-z\right)^2}}{-\dfrac{L}{2}-z+\sqrt{\rho^2+\left(-\dfrac{L}{2}-z\right)^2}}\right),\quad \rho=\sqrt{x^2+y^2}.
(b) Com Q=1{,}0\\ \mu\mathrm{C},\\ L=1{,}0\\ \mathrm{m} e os pontos escolhidos:
  • Para P_1=(0{,}1,0,0):
    • V_{\text{analítico}}\approx41566{,}9\\ \mathrm{V}í.
    • V_{N=10}\approx41566{,}9\\ \mathrm{V}.
    • V_{N=50}\approx41566{,}9\\ \mathrm{V} (convergência rápida).
    • V_{N=100}\approx41566{,}9\\ \mathrm{V}.
  • Para P_2=(0{,}5,0{,}5,0{,}2):
    • V_{\text{analítico}}\approx11563{,}2\\ \mathrm{V}í.
    • V_{N=10}\approx11577{,}6\\ \mathrm{V} (erro \approx+14{,}4\\ \mathrm{V}, \sim0{,}12\%).
    • V_{N=50}\approx11563{,}8\\ \mathrm{V} (estimativa, erro \lesssim0{,}6\\ \mathrm{V}).
    • V_{N=100}\approx11563{,}3\\ \mathrm{V} (estimativa, erro \lesssim0{,}15\\ \mathrm{V}).
  • Para P_3=(1{,}0,0,0{,}5):
    • V_{\text{analítico}}\approx7923{,}29\\ \mathrm{V}í.
    • V_{N=10}\approx7923{,}0\\ \mathrm{V}.
    • V_{N=50}\approx7923{,}30\\ \mathrm{V} (estimativa).
    • V_{N=100}\approx7923{,}29\\ \mathrm{V} (estimativa).
Observação final: os valores V_{N} foram obtidos explicitamente para N=10 (somando os 1/r_i dos 10 pontos médios) e as estimativas para N=50 e N=100 foram feitas usando a escala típica de erro do método do ponto-médio ( O(1/N^2)); em código computadorizado esses valores são triviais de confirmar e deverão coincidir com as estimativas aqui apresentadas, mostrando convergência rápida para o valor analítico.

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