P 13.1. Classifique as seguintes matrizes quanto a serem (semi)definidas positivas, negativas, ou indefinidas ( a é um parâmetro real).
[llll3 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & a & 0 0 & a & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 7]

Passo 1

O enunciado pede para classificar a matriz
M= 3 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & a & 0 0 & a & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 7
quanto a ser positiva (ou semidefinida), negativa (ou semidefinida) ou indefinida. Como M é simétrica, podemos usar o critério de Sylvester (menores principais) para determinar sua positividade e, em seguida, inferir os demais casos.

Passo 2

Calcule os menores principais de Sylvester de ordem 1 a 4:
O menor principal de ordem 1 é
D1 = 3
O menor principal de ordem 2 é
D2 = det3 & 00 & 1 = 3
O menor principal de ordem 3 é
D3 = det 3 & 0 & 0 0 & 1 & a 0 & a & 2 = 3,(2 - a^2)
O menor principal de ordem 4 é
D4 = det(M) = 7 ;D3 = 21,(2 - a^2)

Passo 3

Pelo critério de Sylvester:
  • M é definida positiva se e somente se Di>0 para i=1,2,3,4. Como D1=3>0, D2=3>0 e
    D3>0,;D4>0Long<=ftrightarrow 2 - a^2>0 Long<=ftrightarrow |a|<raiz2,
    concluímos que M é positiva definida para |a|<raiz2.
  • M é semidefinida positiva (mas não definida) se todos os Di>=0 e algum Di=0. Aqui isso ocorre exatamente quando
    2 - a^2 = 0 Long<=ftrightarrow a = pmraiz2
  • Se |a|>raiz2, então D3<0 e D4<0, logo os menores principais não são todos do mesmo sinal e M é indefinida.
Não há regime em que M seja negativa (ou semidefinida negativa), pois já temos dois autovalores positivos fixos ( 3 e 7).

Resposta

Para a matriz dada:
M é positiva definida se |a|<raiz2.
M é positiva semidefinida (não definida) se a=pmraiz2.
M é indefinida se |a|>raiz2.

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