Seja
e
. Responda: A função
é integrável no intervalo
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é (Riemann-)integrável em
, onde temos uma função definida por partes e o conceito de integrabilidade de funções com descontinuidades isoladas.
Passo 2
Precisamos lembrar que uma função é Riemann-integrável em um intervalo fechado se for limitada e tiver apenas um número finito de pontos de descontinuidade nesse intervalo.
Passo 3
Observando
: é dada por
para
e
para
. A função
é contínua em todo
. Portanto, em cada pedaço separado (
e
),
e
são contínuas, logo
é contínua nesses intervalos.
Passo 4
O único ponto que merece atenção é
, pois
não está definida em
de forma única. Avaliando os limites laterais:
Passo 5
Para
temos
. Logo, os limites laterais de
em
são
Passo 6
Concluímos que
tem uma descontinuidade do primeiro tipo (salto) em
e é contínua em todo o resto de
.
Passo 7
Como
é limitada em
e possui apenas um ponto de descontinuidade, ela é Riemann-integrável nesse intervalo.
Resposta
Sim. Como
é contínua em
exceto por uma descontinuidade isolada em
, ela é Riemann-integrável em
.