Seja f(x)=llcos x & se x<0 x^2+2 & se x>0 e g(x)=e^x^2. Responda: A função (f-2 g) é integrável no intervalo [-2,2] ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função h(x) = f(x) - 2g(x) é (Riemann-)integrável em [-2,2], onde temos uma função definida por partes e o conceito de integrabilidade de funções com descontinuidades isoladas.

Passo 2

Precisamos lembrar que uma função é Riemann-integrável em um intervalo fechado se for limitada e tiver apenas um número finito de pontos de descontinuidade nesse intervalo.

Passo 3

Observando f(x): é dada por f(x)=cos x para x<0 e f(x)=x^2+2 para x>0. A função g(x)=e^x^2 é contínua em todo R. Portanto, em cada pedaço separado ( [-2,0) e (0,2]), f e g são contínuas, logo h(x) é contínua nesses intervalos.

Passo 4

O único ponto que merece atenção é x=0, pois f não está definida em 0 de forma única. Avaliando os limites laterais:
limxto0^-f(x)=cos0=1, limxto0^+f(x)=0^2+2=2

Passo 5

Para g(x) temos g(0)=e^0=1. Logo, os limites laterais de h(x)=f(x)-2g(x) em 0 são
limxto0^-h(x)=1-2cdot1=-1, limxto0^+h(x)=2-2cdot1=0

Passo 6

Concluímos que h(x) tem uma descontinuidade do primeiro tipo (salto) em x=0 e é contínua em todo o resto de [-2,2].

Passo 7

Como h(x) é limitada em [-2,2] e possui apenas um ponto de descontinuidade, ela é Riemann-integrável nesse intervalo.

Resposta

Sim. Como h(x)=f(x)-2g(x) é contínua em [-2,2] exceto por uma descontinuidade isolada em x=0, ela é Riemann-integrável em [-2,2].

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