Sejam
definidos por
e
. Determine:
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
;
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações lineares
e pede quatro coisas. As informações explícitas são:
- Para todo
vale . - Para todo
vale .
O que é pedido:
(a) calcular (o composto de
seguido de
);
(b) calcular ;
(c) calcular (o composto três vezes de
consigo mesmo);
(d) calcular (o composto duas vezes de
consigo mesmo).
(a) calcular
(b) calcular
(c) calcular
(d) calcular
Passo 2
Conceito básico e método que vou usar (bem mastigado): composta de aplicações lineares e representação matricial.
- Se
são lineares, o composto é a aplicação que envia em . - Em coordenadas canônicas (base padrão), cada aplicação linear corresponde a uma matriz
. A composição corresponde ao produto de matrizes na mesma ordem: a matriz de é (primeiro aplica-se , depois ).
Vou encontrar matrizes dee na base canônica e usar multiplicação de matrizes; também vou verificar as composições agindo diretamente em para dar intuição.
Passo 3
Encontrar as matrizes de
e
na base padrão
.
-
Para
: calcular e . -
. -
.
Assim a matriz de(colunas são as imagens de ) é
Verificação rápida:, ou seja . -
-
Para
: calcular e . -
. -
.
Assim a matriz deé
Verificação:, ou seja .] -
Passo 4
Calcular
aplicando primeiro
e depois
. Vou fazer de duas maneiras: aplicando diretamente em
e multiplicando matrizes.
-
Aplicando em
: Agora aplicarao resultado: Conclusão: para todoobtemos . Ou seja, é a aplicação zero. -
Pela matriz:A matriz nula confirma que
é a aplicação nula: para todos .]
Passo 5
Calcular
aplicando primeiro
e depois
.
-
Aplicando em
: Agora aplicar: Portanto. Observação: isto é exatamente a mesma fórmula de . Assim, como aplicações, . -
Pela matriz:Confirmação:
tem a mesma matriz de , logo .]
Passo 6
Calcular
. Interpretação: este é o operador
composto consigo mesmo três vezes.
- Já vimos que
é o operador nulo (mapeia tudo em ). - O composto do operador nulo com qualquer operador é o operador nulo. Logo,
Em notação de matrizes, como (matriz nula), então .
Passo 7
Calcular
. Interpretação:
.
Duas formas de raciocinar:
Duas formas de raciocinar:
-
Usando que
(Passo 5): então Calcularagindo em : Portantoé o operador nulo, logo é o operador nulo. -
Pela outra via, usando
: expandindo . Mesmo resultado.
Resposta
(a)
é a aplicação nula:
para todo
.
(b) é
:
para todo
.
(c) é a aplicação nula.
(d) é a aplicação nula.
(b)
(c)
(d)