Sejam F, G \in L\left(\mathbb{R}^{2}\right) definidos por F(x, y)=(0, x) e G(x, y)=(x, 0). Determine:
(a) G \circ F;
(b) F \circ G;
(c) (G \circ F)^{3};
(d) (F \circ G)^{2};

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações lineares F,G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e pede quatro coisas. As informações explícitas são:
  • Para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 vale F(x,y)=(0,x).
  • Para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 vale G(x,y)=(x,0).
O que é pedido:
(a) calcular G\circ F (o composto de F seguido de G);
(b) calcular F\circ G;
(c) calcular (G\circ F)^{3} (o composto três vezes de G\circ F consigo mesmo);
(d) calcular (F\circ G)^{2} (o composto duas vezes de F\circ G consigo mesmo).

Passo 2

Conceito básico e método que vou usar (bem mastigado): composta de aplicações lineares e representação matricial.
  • Se A,B:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 são lineares, o composto A\circ B é a aplicação que envia v em A(B(v)).
  • Em coordenadas canônicas (base padrão), cada aplicação linear corresponde a uma matriz 2\times2. A composição corresponde ao produto de matrizes na mesma ordem: a matriz de A\circ B é M_A M_B (primeiro aplica-se B, depois A).
    Vou encontrar matrizes de F e G na base canônica e usar multiplicação de matrizes; também vou verificar as composições agindo diretamente em (x,y) para dar intuição.

Passo 3

Encontrar as matrizes de F e G na base padrão \{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}.
  • Para F: calcular F(e_1) e F(e_2).
    • F(e_1)=F(1,0)=(0,1)=0\cdot e_1+1\cdot e_2.
    • F(e_2)=F(0,1)=(0,0)=0\cdot e_1+0\cdot e_2.
      Assim a matriz de F (colunas são as imagens de e_1,e_2) é
    M_F=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
    Verificação rápida: M_F\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt] x\end{pmatrix}, ou seja F(x,y)=(0,x).
  • Para G: calcular G(e_1) e G(e_2).
    • G(e_1)=G(1,0)=(1,0)=1\cdot e_1+0\cdot e_2.
    • G(e_2)=G(0,1)=(0,0)=0\cdot e_1+0\cdot e_2.
      Assim a matriz de G é
    M_G=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
    Verificação: M_G\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\[2pt] 0\end{pmatrix}, ou seja G(x,y)=(x,0).]

Passo 4

Calcular G\circ F aplicando primeiro F e depois G. Vou fazer de duas maneiras: aplicando diretamente em (x,y) e multiplicando matrizes.
  • Aplicando em (x,y):
    F(x,y)=(0,x).
    Agora aplicar G ao resultado:
    G(F(x,y))=G(0,x)=(0,0).
    Conclusão: para todo (x,y) obtemos G\circ F(x,y)=(0,0). Ou seja, G\circ F é a aplicação zero.
  • Pela matriz:
    M_{G\circ F}=M_G M_F =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot0+0\cdot1 & 1\cdot0+0\cdot0\\[4pt] 0\cdot0+0\cdot1 & 0\cdot0+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
    A matriz nula confirma que G\circ F é a aplicação nula: G\circ F(x,y)=(0,0) para todos (x,y).]

Passo 5

Calcular F\circ G aplicando primeiro G e depois F.
  • Aplicando em (x,y):
    G(x,y)=(x,0).
    Agora aplicar F:
    F(G(x,y))=F(x,0)=(0,x).
    Portanto F\circ G(x,y)=(0,x). Observação: isto é exatamente a mesma fórmula de F(x,y). Assim, como aplicações, F\circ G=F.
  • Pela matriz:
    M_{F\circ G}=M_F M_G =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot1+0\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot0\\[4pt] 1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =M_F.
    Confirmação: F\circ G tem a mesma matriz de F, logo F\circ G=F.]

Passo 6

Calcular (G\circ F)^{3}. Interpretação: este é o operador G\circ F composto consigo mesmo três vezes.
  • Já vimos que G\circ F é o operador nulo (mapeia tudo em (0,0)).
  • O composto do operador nulo com qualquer operador é o operador nulo. Logo, (G\circ F)^{3}=G\circ F\circ G\circ F\circ G\circ F = \text{operador nulo}.Em notação de matrizes, como M_{G\circ F}=0 (matriz nula), então (M_{G\circ F})^3=0.

Passo 7

Calcular (F\circ G)^{2}. Interpretação: (F\circ G)\circ (F\circ G).
Duas formas de raciocinar:
  • Usando que F\circ G=F (Passo 5): então
    (F\circ G)^{2}=F\circ F.
    Calcular F\circ F agindo em (x,y):
    F(x,y)=(0,x),\qquad F(F(x,y))=F(0,x)=(0,0).
    Portanto F\circ F é o operador nulo, logo (F\circ G)^{2} é o operador nulo.
  • Pela outra via, usando G\circ F=0: expandindo (F\circ G)^{2}=F\circ G\circ F\circ G=F\circ (G\circ F)\circ G = F\circ 0\circ G=0. Mesmo resultado.

Resposta

(a) G\circ F é a aplicação nula: G\circ F(x,y)=(0,0) para todo (x,y).
(b) F\circ G é F: F\circ G(x,y)=(0,x) para todo (x,y).
(c) (G\circ F)^{3} é a aplicação nula.
(d) (F\circ G)^{2} é a aplicação nula.

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