Seja T \in L\left(\mathbb{R}^{2}\right) definida por T(x, y)=(2 x+y, x-3 y), e seja B=\{(1,1),(1,2)\} base de \mathbb{R}^{2}. Determine (T)_{B} e (T)_{B, C}, onde C é a base canônica.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(2x+y,\;x-3y),
e as bases:
  • B=\{(1,1),(1,2)\} (base do espaço domínio e também do contradomínio quando se pede (T)_{B});
  • C é a base canônica, isto é C=\{(1,0),(0,1)\}.
O que o problema pede:
  • Determinar (T)_{B}, ou seja, a matriz de T relativa à base B tanto no domínio quanto no contradomínio (mesma base B nos dois lados).
  • Determinar (T)_{B,C}, ou seja, a matriz de T com relação à base B no domínio e à base canônica C no contradomínio.
Informações relevantes extraídas do enunciado: as fórmulas de T e os vetores que formam B e C. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Primeiro calculo as imagens dos vetores de B por T. Denoto b_1=(1,1) e b_2=(1,2).
Calculo T(b_1)=T(1,1):
T(1,1)=(2\cdot1+1,\;1-3\cdot1)=(3,-2).
Calculo T(b_2)=T(1,2):
T(1,2)=(2\cdot1+2,\;1-3\cdot2)=(4,-5).
Esses resultados são os vetores imagens expressos nas coordenadas canônicas (base C).

Passo 3

Agora monto (T)_{B,C}. Regra prática (importante): a matriz (T)_{B,C} tem como colunas as coordenadas, na base C (a canônica), de T(b_1) e T(b_2), nessa ordem.
Como já tenho T(b_1)=(3,-2) e T(b_2)=(4,-5) em coordenadas canônicas, a matriz é
(T)_{B,C}= \begin{pmatrix} 3 & 4\\[4pt] -2 & -5 \end{pmatrix}.
(Interpretação prática: aplicar essa matriz a um vetor de coordenadas em B dá as coordenadas canônicas do resultado; mas aqui estamos apenas construindo as colunas diretamente.)]

Passo 4

Agora vou encontrar (T)_{B}, a matriz de T quando usamos B tanto no domínio quanto no contradomínio. Para isso preciso escrever cada T(b_j) como combinação linear dos vetores da base B.
Regra prática: se B=\{b_1,b_2\} e v é um vetor qualquer, as coordenadas de v em B são os escalares (\alpha,\beta) tais que
v=\alpha b_1+\beta b_2.
Aqui cada coluna de (T)_{B} será [\;T(b_j)\;]_B, as coordenadas de T(b_j) na base B.

Passo 5

Escrevo um sistema geral para expressar um vetor v=(v_1,v_2)\) como combinação de \(b_1=(1,1)\) e \(b_2=(1,2)\): \[\alpha(1,1)+\beta(1,2)=(\alpha+\beta,\;\alpha+2\beta)=(v_1,v_2).
Logo as equações para \alpha,\beta são
\begin{cases} \alpha+\beta=v_1,\\[4pt] \alpha+2\beta=v_2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se \beta=v_2-v_1\] e depois \(\alpha=v_1-\beta. Vou aplicar isso aos dois vetores T(b_1) e T(b_2).
Para T(b_1)=(3,-2):
\beta = -2-3=-5,\qquad \alpha = 3-(-5)=8.
Portanto [\,T(b_1)\,]_B=(8,\,-5).
Para T(b_2)=(4,-5):
\beta = -5-4=-9,\qquad \alpha = 4-(-9)=13.
Portanto [\,T(b_2)\,]_B=(13,\,-9).]

Passo 6

As colunas de (T)_{B} são exatamente essas coordenadas em B, na ordem b_1,b_2. Assim
(T)_{B}= \begin{pmatrix} 8 & 13\\[4pt] -5 & -9 \end{pmatrix}.
Como checagem mental rápida: se multiplicar a matriz (T)_{B} pelas coordenadas (1,0) (que representa b_1 em B), deve obter (8,-5), que corresponde a T(b_1) em coordenadas em B; convertendo de volta à base canônica dá (3,-2). Isso bate com os cálculos anteriores.]

Resposta

(T)_{B}=\begin{pmatrix}8 & 13\\[4pt]-5 & -9\end{pmatrix}
(T)_{B,C}=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]-2 & -5\end{pmatrix}]

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