Seja
definida por
, e seja
base de
. Determine
e
, onde
é a base canônica.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
e as bases:
-
(base do espaço domínio e também do contradomínio quando se pede ); -
é a base canônica, isto é .
O que o problema pede:
- Determinar
, ou seja, a matriz de relativa à base tanto no domínio quanto no contradomínio (mesma base nos dois lados). - Determinar
, ou seja, a matriz de com relação à base no domínio e à base canônica no contradomínio.
Informações relevantes extraídas do enunciado: as fórmulas de
e os vetores que formam
e
. A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Primeiro calculo as imagens dos vetores de
por
. Denoto
e
.
Calculo
:
Calculo
:
Esses resultados são os vetores imagens expressos nas coordenadas canônicas (base
).
Passo 3
Agora monto
. Regra prática (importante): a matriz
tem como colunas as coordenadas, na base
(a canônica), de
e
, nessa ordem.
Como já tenho
e
em coordenadas canônicas, a matriz é
(Interpretação prática: aplicar essa matriz a um vetor de coordenadas em
dá as coordenadas canônicas do resultado; mas aqui estamos apenas construindo as colunas diretamente.)]
Passo 4
Agora vou encontrar
, a matriz de
quando usamos
tanto no domínio quanto no contradomínio. Para isso preciso escrever cada
como combinação linear dos vetores da base
.
Regra prática: se
e
é um vetor qualquer, as coordenadas de
em
são os escalares
tais que
Aqui cada coluna de
será
, as coordenadas de
na base
.
Passo 5
Escrevo um sistema geral para expressar um vetor
Logo as equações para
são
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se
. Vou aplicar isso aos dois vetores
e
.
Para
:
Portanto
.
Para
:
Portanto
.]
Passo 6
As colunas de
são exatamente essas coordenadas em
, na ordem
. Assim
Como checagem mental rápida: se multiplicar a matriz
pelas coordenadas
(que representa
em
), deve obter
, que corresponde a
em coordenadas em
; convertendo de volta à base canônica dá
. Isso bate com os cálculos anteriores.]