Seja lllx^2+1 & se & x<1 2 x+1 & se & x >= 1
f é contínua em 1? f é derivável em 1 ?
Rpta: não,não

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de forma diferente para x < 1 e para x >= 1. Precisamos descobrir se essa função é contínua e se é derivável em x = 1. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em x = 1. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita e também é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x to 1^-):
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2

Passo 4

Agora, o limite quando x se aproxima de 1 pela direita ( x to 1^+):
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (2x + 1) = 2 times 1 + 1 = 3

Passo 5

O valor da função em x = 1 é:
f(1) = 2 times 1 + 1 = 3

Passo 6

Comparando os limites:
limx to 1^- f(x) = 2 e limx to 1^+ f(x) = 3
Como 2 neq 3, a função não é contínua em x = 1.

Passo 7

Como a função não é contínua em x = 1, ela também não pode ser derivável nesse ponto. Mesmo que quiséssemos calcular as derivadas laterais, já sabemos que a continuidade é uma condição necessária para a derivabilidade.

Resposta

Não, não é contínua em 1 nem derivável em 1.

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