Seja y=e^-x cos 2 x. Verifique que y^prime prime+2 y^prime+5 y=0

Passo 1

Temos a função y = e^-xcos 2x. O objetivo é verificar se essa função satisfaz a equação diferencial y'' + 2y' + 5y = 0. Para isso, vamos usar derivação de produto e regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada y' usando a regra do produto: derivada de e^-x é -e^-x e derivada de cos 2x é -2sin 2x. Dessa forma,
y' = -e^-xcos 2x - 2e^-xsin 2x = e^-x(-cos 2x - 2sin 2x)

Passo 3

Calculamos a segunda derivada y'' aplicando novamente a regra do produto em y' = e^-x(-cos 2x - 2sin 2x). Temos derivada de e^-x e de -cos 2x - 2sin 2x. Isso dá
y'' = e^-x(-3cos 2x + 4sin 2x)

Passo 4

Agora substituímos y, y' e y'' na equação diferencial:
y'' + 2y' + 5y = e^-x(-3cos 2x + 4sin 2x) + 2e^-x(-cos 2x - 2sin 2x) + 5e^-xcos 2x
Colocando e^-x em evidência e somando termos semelhantes, obtemos
e^-xl((-3-2+5)cos 2x + (4-4)sin 2xr) = e^-x(0 + 0) = 0

Passo 5

Concluímos que y'' + 2y' + 5y = 0, isto é, a função dada satisfaz a equação diferencial proposta.

Resposta

Ao substituir as derivadas na equação, obtemos 0, logo y'' + 2y' + 5y = 0.

Exercícios relacionados