Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
integral xraiz1-x+3 x^2 d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral indefinida de integral xraiz1 - x + 3x^2,dx usando completamento de quadrado e substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado em 3x^2 - x + 1. Note que
3x^2 - x + 1 = 3l(x^2 - tfrac13xr) + 1 = 3l(x - tfrac16r)^2 - 3cdottfrac136 + 1 = 3l(x - tfrac16r)^2 + tfrac1112.
Assim a raiz fica
raiz1 - x + 3x^2 = raiz3l(x - tfrac16r)^2 + tfrac1112 = raiztfrac1112,raiz1 + 3(x - tfrac16)^211/12 = raiztfrac1112,raiz1 + l(tfrac6(x - tfrac16)raiz11r)^2

Passo 3

Agora fazemos a substituição trigonométrica apropriada:
tantheta = 6l(x - tfrac16r)raiz11, x = tfrac16 + tfracraiz116tantheta, dx = raiz116sec^2theta,dtheta

Passo 4

Substituindo em integral xraiz1 - x + 3x^2,dx e simplificando, chegamos a uma combinação de integrais de sectheta e secthetatantheta. Após organizar os coeficientes, obtemos
integral xraiz1 - x + 3x^2,dx = raiz318integral sectheta,dtheta + raiz3318integral secthetatantheta,dtheta

Passo 5

Usamos as fórmulas conhecidas
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C1, integral secthetatantheta,dtheta = sectheta + C2

Passo 6

Voltando para a variável x, temos
tantheta = 6x - 1raiz11, sectheta = raiz1 + tan^2theta = 2raiz3,raiz3x^2 - x +1raiz11

Passo 7

Reunindo tudo e absorvendo constantes em +C, a resposta final fica abaixo.

Resposta

Exercícios relacionados