Mostre que as tangentes à curva
nos pontos
e
se interceptam sobre a curva
.
7. Nos casos abaixo, determine as compostas
e calcule suas derivadas diretamente e através da regra da cadeia:
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d)
;
(e)
.
7. Nos casos abaixo, determine as compostas
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O primeiro problema pede para mostrar que as tangentes à parábola
nos pontos de abscissas
e
se interceptam num ponto que pertence à curva
. Para isso vamos usar derivada para obter as retas tangentes e resolver o sistema para achar o ponto de interseção.
Passo 2
A derivada de
é
No ponto
temos inclinação
e o ponto
, então a reta tangente é dada por
que simplifica para
De modo análogo, no ponto
a inclinação é
e o ponto é
, logo
e, ao expandir e simplificar, obtemos
Passo 3
Para achar o ponto de interseção, igualamos
e
:
Reagrupando termos,
Substituindo em
,
Observe que
ou seja, o ponto de interseção
satisfaz a equação
.
Passo 4
O segundo problema pede, para cada par de funções
e
, que se forme
e se calcule
de duas formas: diretamente e usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz
Passo 5
(a)
.
Derivada direta:
Regra da cadeia:
Passo 6
(b)
.
Derivada direta:
.
Pela cadeia:
Pela cadeia:
Passo 7
(c)
.
Derivada direta:
.
Pela cadeia:
Pela cadeia:
Passo 8
(d)
.
Derivada direta:
Pela cadeia:
Passo 9
(e)
.
Derivada direta:
Pela cadeia:
Resposta
O ponto de interseção das tangentes a
em
e
é
, logo pertence à curva
.
Para o item 7:
(a) .
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)