Mostre que as tangentes à curva y=x^2 nos pontos x=a e x=a+2 se interceptam sobre a curva y=x^2-1.
7. Nos casos abaixo, determine as compostas F=f circ g e calcule suas derivadas diretamente e através da regra da cadeia:
(a) f(x)=x^2, g(x)=x-1;
(b) f(x)=2 x-3, g(x)=3 x+1;
(c) f(x)=x, g(x)=3 x;
(d) f(x)=e^x, g(x)=3 x+2;
(e) f(x)=cos x, g(x)=4 x^2.

Passo 1

O primeiro problema pede para mostrar que as tangentes à parábola y=x^2 nos pontos de abscissas x=a e x=a+2 se interceptam num ponto que pertence à curva y=x^2-1. Para isso vamos usar derivada para obter as retas tangentes e resolver o sistema para achar o ponto de interseção.

Passo 2

A derivada de y=x^2 é
y'=2x
No ponto x=a temos inclinação 2a e o ponto l(a,a^2r), então a reta tangente é dada por
L1:y - a^2=2a,(x - a),
que simplifica para
L1:y=2a,x - a^2
De modo análogo, no ponto x=a+2 a inclinação é 2(a+2)=2a+4 e o ponto é l(a+2,(a+2)^2r), logo
L2:y - (a+2)^2=(2a+4)l(x - (a+2)r),
e, ao expandir e simplificar, obtemos
L2:y=(2a+4),x -l(a^2+4a+4r)

Passo 3

Para achar o ponto de interseção, igualamos L1 e L2:
2a,x - a^2 ;=;(2a+4),x - (a^2+4a+4)
Reagrupando termos,
-4x +4a+4=0 Longrightarrow x=a+1
Substituindo em L1,
y=2a,(a+1)-a^2=a^2+2a
Observe que
(a+1)^2-1=a^2+2a+1-1=a^2+2a=y,
ou seja, o ponto de interseção l(a+1,a^2+2ar) satisfaz a equação y=x^2-1.

Passo 4

O segundo problema pede, para cada par de funções f e g, que se forme F=fcirc g e se calcule F' de duas formas: diretamente e usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz
(F(x))'=(fcirc g)'(x)=f'l(g(x)r),g'(x)

Passo 5

(a) f(x)=x^2,;g(x)=x-1.
F(x)=fl(g(x)r)=(x-1)^2
Derivada direta:
F'(x)=2,(x-1)
Regra da cadeia:
f'(u)=2uRightarrow f'l(g(x)r)=2,(x-1), g'(x)=1 ;Longrightarrow; F'(x)=2(x-1)cdot1

Passo 6

(b) f(x)=2x-3,;g(x)=3x+1.
F(x)=2(3x+1)-3=6x-1
Derivada direta: F'(x)=6.
Pela cadeia: f'(u)=2,;g'(x)=3;Rightarrow;F'(x)=2cdot3=6

Passo 7

(c) f(x)=x,;g(x)=3x.
F(x)=3x
Derivada direta: F'(x)=3.
Pela cadeia: f'(u)=1,;g'(x)=3;Rightarrow;F'(x)=1cdot3=3

Passo 8

(d) f(x)=e^x,;g(x)=3x+2.
F(x)=e^3x+2
Derivada direta:
F'(x)=3,e^3x+2
Pela cadeia: f'(u)=e^u,;g'(x)=3;Rightarrow;F'(x)=e^3x+2cdot3

Passo 9

(e) f(x)=cos x,;g(x)=4x^2.
F(x)=cosl(4x^2r)
Derivada direta:
F'(x)=-sin(4x^2)cdot8x
Pela cadeia: f'(u)=-sin u,;g'(x)=8x;Rightarrow;F'(x)=-sin(4x^2)cdot8x

Resposta

O ponto de interseção das tangentes a y=x^2 em x=a e x=a+2 é l(a+1,(a+1)^2-1r), logo pertence à curva y=x^2-1.
Para o item 7:
(a) F(x)=(x-1)^2,;F'(x)=2(x-1).
(b) F(x)=6x-1,;F'(x)=6.
(c) F(x)=3x,;F'(x)=3.
(d) F(x)=e^3x+2,;F'(x)=3e^3x+2.
(e) F(x)=cos(4x^2),;F'(x)=-8xsin(4x^2).

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