Seja f: R longrightarrow Im(f) diferenciável em R, tal que f(1)=2, f(2)=3 f^prime(1)=5 / 2, f^prime(2)=3 e f^prime(x) <= 103 forall x in R.
(a) Enuncie o Teorema do Valor Médio (TVM).

Passo 1

O enunciado pede para enunciar o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse conteúdo é parte de cálculo diferencial e estabelece uma relação entre a derivada de uma função e sua variação média num intervalo. Para usá-lo, precisamos de duas hipóteses: continuidade de f no intervalo fechado [a,b] e diferenciabilidade de f no intervalo aberto (a,b).

Passo 2

Supondo que f satisfaça as hipóteses de continuidade em [a,b] e diferenciabilidade em (a,b), o TVM garante a existência de um ponto c em (a,b) onde a derivada de f coincide com o coeficiente angular da reta secante que liga (a,f(a)) e (b,f(b)).

Resposta

Sejam a números reais. Se f:[a,b]toR é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe cin(a,b) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a

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