Seja a função f(x)=cos (9 x^5)
(b) Utilizando o polinômio de Taylor adequado, obtenha um valor aproximado para cos (0,2).
P(x)=f(x0)+f^prime(x0)(x-x0)+f^prime prime(x0)2!(x-x0)^2+f^(3)(x0)3!(x-x0)^3+ldots+f^(n)(x0)n!(x-x0)^n

Passo 1

O enunciado pede para aproximar cos(0,2) usando um polinômio de Taylor (no caso, Maclaurin) em torno de x0=0. Vamos precisar da expansão em série de Taylor de cos(x) e escolher um grau que garanta precisão adequada.

Passo 2

Calculamos as derivadas de cos(x) em 0 e montamos a série de Maclaurin. Sabendo que
cos(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2n)!,x^2n,
podemos truncar essa série num polinômio de grau 4 (termos até x^4), pois os termos ímpares têm coeficiente zero e o próximo termo (grau 6) será muito pequeno para x=0,2. O polinômio fica
P4(x)=1 - x^22! + x^44!

Passo 3

Estimamos o termo de resto para verificar a precisão:
|R4(0,2)|<=|0,2|^66!=0,2^6720=0,000064720approx8,9times10^-8,
que é desprezível para a maioria das aplicações.

Passo 4

Agora substituímos x=0,2 em P4(x):
P4(0,2)=1 - (0,2)^22 + (0,2)^424 =1 - 0,02 + 0,0000667 approx0,9800667

Resposta

0,98007

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