Um tanque cilíndrico de raio 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 3 m^3 / min. Quão rápido a altura da água está aumentando no instante em que a altura é de 2 m ? V=pi R^2 h
(Volume do cilindro)

Passo 1

A gente tem um tanque cilíndrico de raio constante 5 m que está sendo enchido com água a uma taxa de dVdt=3,m^3/min. O enunciado pede pra encontrar a taxa de variação da altura dhdt no instante em que h=2,m. O conteúdo aqui é taxas relacionadas usando a fórmula do volume de um cilindro.

Passo 2

A fórmula do volume de um cilindro de raio R e altura h é
V = pi R^2 h
Como o raio R=5,m é constante, podemos diferenciar em relação ao tempo t aplicando diferenciação implícita (regra do produto mas aqui só h depende de t):
dVdt = pi R^2 dhdt

Passo 3

Agora basta substituir R=5,m e dVdt=3,m^3/min na equação acima. Note que essa expressão não depende de h, então o valor h=2,m não entra no cálculo da taxa:
dhdt = dVdtpi R^2 = 3pi cdot 5^2 = 325pi,m/min

Resposta

325pi,m/min

Exercícios relacionados