Seja
a função definida por
.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abcissa
.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Nesse exercício temos a função f (x)=x³+3x e queremos a reta tangente ao gráfico da inversa f⁻¹ no ponto de abscissa b=4. O conteúdo gira em torno da derivada de uma função inversa, que diz que
e precisamos usar isso para achar o coeficiente angular da reta.
Passo 2
Primeiro precisamos determinar o ponto em que f⁻¹ tem abscissa 4. Chamando a essa abscissa de y₀=4, buscamos x₀ tal que
Percebemos que x₀=1 satisfaz 1³+3·1=4, ou seja, f⁻¹(4)=1. O ponto de tangência no gráfico de f⁻¹ é (4,1).
Passo 3
Agora vamos achar o coeficiente angular da reta tangente, ou seja, (f⁻¹)’(4). Pela regra da derivada da inversa temos
e a derivada de f é
Substituindo x₀=1 obtemos
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Passo 4
Para montar a equação da reta tangente no ponto (4,1) com coeficiente angular m=1/6, usamos a forma ponto-ângulo:
Podemos ainda escrever em forma explicita: y=\tfrac{1}{6}x+\tfrac{1}{3}.
Passo 5
Usamos a teoria da derivada da função inversa para relacionar a derivada de f com a de f⁻¹ e, assim, encontramos tanto o ponto de tangência quanto o coeficiente angular da reta.
Resposta
A equação da reta tangente é
ou seja