Seja f: R longrightarrow R a função definida por f(x)=x^3+3 x.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f^-1: R longrightarrow R no ponto de abcissa b=4.

Passo 1

Nesse exercício temos a função f (x)=x³+3x e queremos a reta tangente ao gráfico da inversa f⁻¹ no ponto de abscissa b=4. O conteúdo gira em torno da derivada de uma função inversa, que diz que
(f^-1)'(y)=1f'(x)onde y=f(x)
e precisamos usar isso para achar o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Primeiro precisamos determinar o ponto em que f⁻¹ tem abscissa 4. Chamando a essa abscissa de y₀=4, buscamos x₀ tal que
f(x₀)=x₀³+3x₀=4³
Percebemos que x₀=1 satisfaz 1³+3·1=4, ou seja, f⁻¹(4)=1. O ponto de tangência no gráfico de f⁻¹ é (4,1).

Passo 3

Agora vamos achar o coeficiente angular da reta tangente, ou seja, (f⁻¹)’(4). Pela regra da derivada da inversa temos
(f^-1)'(4)=1f'(x₀)
e a derivada de f é
f'(x)=3x²+3²
Substituindo x₀=1 obtemos
f'(1)=3·1²+3=6²
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(f^-1)'(4)=16

Passo 4

Para montar a equação da reta tangente no ponto (4,1) com coeficiente angular m=1/6, usamos a forma ponto-ângulo:
y-1=16(x-4)
Podemos ainda escrever em forma explicita: y=\tfrac{1}{6}x+\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Usamos a teoria da derivada da função inversa para relacionar a derivada de f com a de f⁻¹ e, assim, encontramos tanto o ponto de tangência quanto o coeficiente angular da reta.

Resposta

A equação da reta tangente é
y-1=16(x-4)
ou seja
y=16x+13

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