Determine a solução do PVI: y^prime prime+9 y=0, com y(0)=1 e y^prime(0)=-raiz3. Construa o gráfico da solução encontrada para x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem a equação $ y’’ + 9y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -\sqrt{3} $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como encontrar soluções gerais e particulares. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos: $ y’’ + 9y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente pode resolver encontrando a solução geral, que é uma combinação de funções trigonométricas quando a equação tem esse formato.

Passo 3

Para resolver, começamos encontrando a equação característica associada. Substituímos $ y = e^{rt} $ na equação diferencial:
y = e^rt
Dividindo tudo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), fica:
r^2 e^rt + 9 e^rt = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica $ r^2 + 9 = 0 $:
r^2 + 9 = 0
Os valores imaginários indicam que a solução geral será em termos de seno e cosseno.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial quando temos raízes $ \pm ai $ é:
pm ai
No nosso caso, $ a = 3 $, então:
y(x) = C1 cos(ax) + C2 sin(ax)

Passo 6

Agora, precisamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 1 $:
C1
Então, $ C_1 = 1 $.

Passo 7

Em seguida, calculamos a derivada da solução geral para usar a condição inicial $ y’(0) = -\sqrt{3} $:
y'(0) = -raiz3
Aplicando $ y’(0) = -\sqrt{3} $:
y'(x) = -3C1 sin(3x) + 3C2 cos(3x)
Então, $ C_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $.

Passo 8

Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, substituímos de volta na solução geral:
C1
Essa é a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.

Resposta

A solução do PVI é $ y(x) = \cos(3x) - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \sin(3x) $. O gráfico dessa função para $ x \geq 0 $ é uma combinação de oscilações de cosseno e seno com amplitude ajustada, iniciando em $ y(0) = 1 $ e descendo com a inclinação inicial $ y’(0) = -\sqrt{3} $.

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