Determine a solução do PVI:
, com
e
. Construa o gráfico da solução encontrada para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem a equação $ y’’ + 9y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -\sqrt{3} $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como encontrar soluções gerais e particulares. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos: $ y’’ + 9y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente pode resolver encontrando a solução geral, que é uma combinação de funções trigonométricas quando a equação tem esse formato.
Passo 3
Para resolver, começamos encontrando a equação característica associada. Substituímos $ y = e^{rt} $ na equação diferencial:
Dividindo tudo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), fica:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica $ r^2 + 9 = 0 $:
Os valores imaginários indicam que a solução geral será em termos de seno e cosseno.
Passo 5
A solução geral da equação diferencial quando temos raízes $ \pm ai $ é:
No nosso caso, $ a = 3 $, então:
Passo 6
Agora, precisamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 1 $:
Então, $ C_1 = 1 $.
Passo 7
Em seguida, calculamos a derivada da solução geral para usar a condição inicial $ y’(0) = -\sqrt{3} $:
Aplicando $ y’(0) = -\sqrt{3} $:
Então, $ C_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $.
Passo 8
Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, substituímos de volta na solução geral:
Essa é a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Resposta
A solução do PVI é $ y(x) = \cos(3x) - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \sin(3x) $. O gráfico dessa função para $ x \geq 0 $ é uma combinação de oscilações de cosseno e seno com amplitude ajustada, iniciando em $ y(0) = 1 $ e descendo com a inclinação inicial $ y’(0) = -\sqrt{3} $.