Seja (
) um espaço métrico. Dizemos que
é localmente conexo se, dado
e
um conjunto aberto tal que
, então existe um conjunto aberto conexo
tal que
. De forma semelhante, dizemos que
é localmente conexo por caminhos se, dado
e
um conjunto aberto tal que
, então existe um conjunto aberto conexo por caminhos
tal que
.
i) Mostre que
é localmente conexo se, e somente se, toda componente conexa é um conjunto aberto.
ii) Mostre que o conjunto dos números racionais
com a métrica usual
não é localmente conexo.
iii) Seja
uma aplicação contínua e aberta (leva abertos em abertos) entre os espaços métricos (
) e
. Se
for localmente conexo, então o conjunto
é um espaço localmente conexo com a métrica induzida de
.
iv) Seja (
) um espaço métrico localmente conexo por caminhos. Seja
uma componente conexa de
e
. Mostre que o conjunto
caminho em
que liga
a
é um conjunto aberto e fechado em
. Conclua que que toda componente conexa de
é conexa por caminhos.
i) Mostre que
ii) Mostre que o conjunto dos números racionais
iii) Seja
iv) Seja (
Passo 1
Resumo do enunciado e plano de ataque.
Temos um espaço métrico .
Definimos:
é localmente conexo se para todo
e todo aberto
com
existe um aberto conexo
tal que
Temos um espaço métrico
Definimos:
Precisamos provar:
i)
ii)
iii) Se
iv) Se
Passo 2
Prova de (i).
“ ”: Seja
uma componente conexa de
e tome
. Como
é localmente conexo, para o aberto
existe um aberto
tal que
“
Pela maximalidade de
(é a maior parte conectada que contém
) segue
. Como
é aberto e contém
,
é ponto interior de
. Como
era arbitrário,
é aberto.
“
”: Suponha que cada componente conexa de
seja aberta. Seja
e
aberto com
. Denote por
a componente de
que contém
. Então
é aberta por hipótese. Em seguida o componente de
em
(isto é, o maior subconjunto conectado de
que contém
) coincide com
pois qualquer subconjunto conectado de
que contenha
deve estar em
. Como interseção de abertos,
é aberto em
. Logo existe um aberto conectado
com
Isto mostra que
é localmente conexo.
Passo 3
Prova de (ii).
No espaço , cada ponto
é uma componente conexa isolada (pois
é totalmente descontínuo). Essas componentes são singletons
. Mas singuletons não são abertos em
(todo intervalo em
contém infinitos pontos racionais), logo as componentes não são abertas. Pelo item (i),
não é localmente conexo.
No espaço
Passo 4
Prova de (iii).
Seja contínua e aberta, e
localmente conexo. Tome
e um aberto
contendo
. Então existe aberto
tal que
Seja
Como
é aberta,
é aberto e contém algum
com
. Pela local conexão de
existe aberto conectado
contendo
.
Então é
Então
- aberto em
(porque é aberta), e - conectado (imagem contínua de conjunto conectado),
- contém
, - está contido em
.
Logo
é um aberto conectado de
contendo
e contido em
. Concluímos que
é localmente conexo.
Passo 5
Prova de (iv).
Suponha localmente conexo por caminhos. Seja
uma componente conexa de
e fixe
. Defina
Suponha
-
é não vazio ( ). -
é aberto em : se , existe um caminho de a . Como é localmente conexo por caminhos, existe em um aberto contendo tal que é conexo por caminhos. Então, para qualquer , concatenamos o caminho de a com um caminho em de a , obtendo caminho de a . Logo , mostrando que é vizinhança de cada um de seus pontos. -
é fechado em : seja . Qualquer vizinhança por caminhos de em não pode conter pontos de , pois caso contrário um ponto admitiria caminho de a e depois em de a , contradizendo . Então . Assim é aberto em .
Comoé aberto, fechado e não-vazio em , e é conectado, só resta . Ou seja, cada ponto de é ligado a por um caminho em . Concluímos que é conexo por caminhos.
Resposta
i)
é localmente conexo se, e somente se, cada componente conexa de
é um conjunto aberto.
ii) não é localmente conexo, pois suas componentes são singletons não abertos.
iii) Imagem contínua e aberta de espaço localmente conexo é localmente conexo.
iv) Em espaço localmente conexo por caminhos, cada componente conexa é, de fato, conexa por caminhos.
ii)
iii) Imagem contínua e aberta de espaço localmente conexo é localmente conexo.
iv) Em espaço localmente conexo por caminhos, cada componente conexa é, de fato, conexa por caminhos.