Seja ( M, d ) um espaço métrico. Dizemos que M é localmente conexo se, dado x in M e Ux subset M um conjunto aberto tal que x in Ux, então existe um conjunto aberto conexo Vx tal que x in Vx subset Ux. De forma semelhante, dizemos que M é localmente conexo por caminhos se, dado x in M e Ux subset M um conjunto aberto tal que x in Ux, então existe um conjunto aberto conexo por caminhos Vx tal que x in Vx subset Ux.
i) Mostre que M é localmente conexo se, e somente se, toda componente conexa é um conjunto aberto.
ii) Mostre que o conjunto dos números racionais Q com a métrica usual (d(x, y)=|x-y|) não é localmente conexo.
iii) Seja f: M N uma aplicação contínua e aberta (leva abertos em abertos) entre os espaços métricos ( M, d ) e (N, tilded). Se M for localmente conexo, então o conjunto f(M) subset N é um espaço localmente conexo com a métrica induzida de N.
iv) Seja ( M, d ) um espaço métrico localmente conexo por caminhos. Seja C uma componente conexa de M e x in C. Mostre que o conjunto y in C, exists um caminho em M que liga x a y é um conjunto aberto e fechado em C. Conclua que que toda componente conexa de M é conexa por caminhos.

Passo 1

Resumo do enunciado e plano de ataque.
Temos um espaço métrico (M,d).
Definimos:
bul<=t M é localmente conexo se para todo xin M e todo aberto Uxsubset M com xin Ux existe um aberto conexo Vx tal que
xin Vxsubset Ux
bul<=t M é localmente conexo por caminhos se em vez de “conexo” trocamos por “conexo por caminhos”.
Precisamos provar:
i) M é localmente conexo iff cada componente conexa de M é aberta.
ii) Q com a métrica usual não é localmente conexo.
iii) Se fcolon Mto N é contínua e aberta e M é localmente conexo, então f(M) (com a métrica induzida) é localmente conexo.
iv) Se M é localmente conexo por caminhos então cada componente conexa de M é conexa por caminhos.

Passo 2

Prova de (i).
Rightarrow”: Seja Csubset M uma componente conexa de M e tome xin C. Como M é localmente conexo, para o aberto Ux=M existe um aberto Vx tal que
xin Vxsubset M e Vx é conectado é
Pela maximalidade de C (é a maior parte conectada que contém x) segue Vxsubset C. Como Vx é aberto e contém x, x é ponto interior de C. Como x era arbitrário, C é aberto.
Leftarrow”: Suponha que cada componente conexa de M seja aberta. Seja xin M e Usubset M aberto com xin U. Denote por Cx a componente de M que contém x. Então Cx é aberta por hipótese. Em seguida o componente de x em U (isto é, o maior subconjunto conectado de U que contém x) coincide com
Cxcap U,
pois qualquer subconjunto conectado de U que contenha x deve estar em Cx. Como interseção de abertos, Cxcap U é aberto em M. Logo existe um aberto conectado Vx=Cxcap U com
xin Vxsubset U
Isto mostra que M é localmente conexo.

Passo 3

Prova de (ii).
No espaço QsubsetR, cada ponto qinQ é uma componente conexa isolada (pois Q é totalmente descontínuo). Essas componentes são singletons q. Mas singuletons não são abertos em Q (todo intervalo em Q contém infinitos pontos racionais), logo as componentes não são abertas. Pelo item (i), Q não é localmente conexo.

Passo 4

Prova de (iii).
Seja fcolon Mto N contínua e aberta, e M localmente conexo. Tome yin f(M) e um aberto Uysubset f(M) contendo y. Então existe aberto Osubset N tal que
Uy = Ocap f(M)
Como f é aberta,
;f^-1(O)subset M é aberto e contém algum x com f(x)=y. Pela local conexão de M existe aberto conectado Vxsubset f^-1(O) contendo x.
Então f(Vx) é
  1. aberto em N (porque f é aberta), e
  2. conectado (imagem contínua de conjunto conectado),
  3. contém y,
  4. está contido em O.
    Logo
f(Vx)cap f(M)
é um aberto conectado de f(M) contendo y e contido em Uy. Concluímos que f(M) é localmente conexo.

Passo 5

Prova de (iv).
Suponha M localmente conexo por caminhos. Seja C uma componente conexa de M e fixe xin C. Defina
A = ,yin C : existe caminho em M de x a y
  1. A é não vazio ( xin A).
  2. A é aberto em C: se yin A, existe um caminho gamma de x a y. Como M é localmente conexo por caminhos, existe em M um aberto Wy contendo y tal que Wy é conexo por caminhos. Então, para qualquer zin Wycap C, concatenamos o caminho gamma de x a y com um caminho em Wy de y a z, obtendo caminho de x a z. Logo Wycap Csubset A, mostrando que A é vizinhança de cada um de seus pontos.
  3. A é fechado em C: seja zin Csetminus A. Qualquer vizinhança por caminhos Wz de z em M não pode conter pontos de A, pois caso contrário um ponto win Wzcap A admitiria caminho de x a w e depois em Wz de w a z, contradizendo znotin A. Então Wzcap Csubset Csetminus A. Assim Csetminus A é aberto em C.
    Como A é aberto, fechado e não-vazio em C, e C é conectado, só resta A=C. Ou seja, cada ponto de C é ligado a x por um caminho em M. Concluímos que C é conexo por caminhos.

Resposta

i) M é localmente conexo se, e somente se, cada componente conexa de M é um conjunto aberto.
ii) Q não é localmente conexo, pois suas componentes são singletons não abertos.
iii) Imagem contínua e aberta de espaço localmente conexo é localmente conexo.
iv) Em espaço localmente conexo por caminhos, cada componente conexa é, de fato, conexa por caminhos.

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