Seja ( ) um espaço métrico. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações.
No espaço métrico ( ), em que
os únicos conjuntos conexos são o vazio e os conjuntos formados por apenas um ponto.
Passo 1
O enunciado trata do espaço métrico
Queremos mostrar que, neste espaço, todo subconjunto com pelo menos dois pontos é desconexo, de modo que os únicos conjuntos conexos sejam (\emptyset] e os conjuntos unitários.
Passo 2
Lembrando que num espaço métrico um conjunto Usubset M é aberto se, para todo pin U, existe r>0 tal que
B(p,r)=qin Mmid d(p,q)<rsubset U
Passo 3
No caso da métrica discreta, para qualquer xin M vale
Bl(x,tfrac12r)=,yin Mmid d(x,y)<tfrac12=x
Isso mostra que todo singleton x é aberto em M.
Passo 4
Agora seja Ssubset M com pelo menos dois pontos. Escolha xin S e defina
U=x, V=Ssetminusx
Como x é aberto em M, segue que U= x=Scapx é aberto em S (topologia de subespaço). E V é o complementar de U em S, logo também é aberto em S. Além disso Uneqemptyset e Vneqemptyset, e Ucup V=S com Ucap V=emptyset. Assim S é desconexo.
Passo 5
Concluímos que nenhum conjunto com dois ou mais pontos pode ser conexo. Portanto, os únicos conjuntos conexos em (M,d) são
emptyset e x para cada xin M
Resposta
Os únicos conjuntos conexos neste espaço métrico são o vazio emptyset e os conjuntos formados por um único ponto.